¿Qué es la hipótesis de Riemann?

El contenido específico de la hipótesis de Riemann

Riemann observó que la frecuencia de los números primos está estrechamente relacionada con el comportamiento de la llamada función zeta de Riemann ζ(s), cuidadosamente construida. La hipótesis de Riemann afirma que todas las soluciones significativas de la ecuación ζ(s)=0 se encuentran en una línea recta. Esto se ha verificado para las primeras 1.500.000.000 de soluciones.

La función ζ de Riemann ζ(s) es la continuación analítica de la expresión en serie

en el plano complejo.

La razón por la que esta expresión necesita ser extendida analíticamente es que esta expresión solo se aplica a la región de la parte real Re(s) gt 1 de s en el plano complejo (de lo contrario, la serie no convergerá; ). Riemann encontró una continuación analítica de esta expresión (por supuesto, Riemann no utilizó la terminología moderna de la teoría de funciones variables complejas como "continuación analítica"). Usando integrales de trayectoria, la función zeta de Riemann analíticamente extendida se puede expresar como:

Aquí usamos la notación en documentos históricos La integral en la fórmula es en realidad una trayectoria circunferencial alrededor del eje real positivo (que. es, comenzando desde ∞, integrando por encima del eje real hasta cerca del origen, integrando alrededor del origen hasta debajo del eje real y luego integrando por debajo del eje real hasta ∞, y la distancia desde el eje real y el radio alrededor del origen son ambos. tiende a 0), según la notación matemática moderna, debe registrarse como:

La trayectoria integral C es la misma que se mencionó anteriormente, rodea el eje real positivo y se puede expresar así:

La función Γ Γ( s) es la generalización de la función factorial en el plano complejo, para enteros positivos?sgt;1: Γ(s)=(s-1)! . Se puede demostrar que esta expresión integral es analítica en todo el plano complejo excepto en un polo simple en s=1. Esta es la definición completa de la función zeta de Riemann.

Usando la expresión integral anterior, se puede demostrar que la función Riemann ζ satisface la siguiente relación algebraica:

No es difícil encontrar a partir de esta relación que la función Riemann ζ satisface la ecuación s=- 2n (n es un entero positivo) toma el valor cero, porque sin(πs/2) es cero. El punto en el plano complejo donde la función zeta de Riemann toma un valor de cero se llama punto cero de la función zeta de Riemann. Por lo tanto, s=-2n (n es un entero positivo) es el punto cero de la función Riemann ζ.

Estos puntos cero están distribuidos de forma ordenada y tienen propiedades simples, y se denominan ceros triviales de la función zeta de Riemann. Además de estos ceros triviales, la función zeta de Riemann tiene muchos otros ceros, cuyas propiedades son mucho más complejas que esos ceros triviales y se denominan ceros no triviales.

Todos los puntos cero no triviales de la función ζ de Riemann están ubicados en la recta Re(s)=1/2 en el plano complejo, es decir, la parte real de la solución de la ecuación ζ (s)=0 es 1/2.

En el estudio de la Hipótesis de Riemann, los matemáticos llaman línea crítica a la recta con Re(s)=1/2 en el plano complejo. Usando esta terminología, la Hipótesis de Riemann también se puede expresar como: todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann están ubicados en la línea crítica.

Información ampliada:

Proposición de la Hipótesis de Riemann:

La Hipótesis de Riemann fue propuesta por Bornhard Riemann en 1859. El matemático Nació en 1826 en un pequeño pueblo llamado Breslenz, que en aquel momento formaba parte del Reino de Hannover. En 1859, Riemann fue elegido miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Berlín. A cambio de este alto honor, presentó un trabajo a la Academia de Ciencias de Berlín titulado "Sobre el número de números primos menores que un valor dado". Este artículo, que tiene sólo ocho páginas, es el "lugar de nacimiento" de la Hipótesis de Riemann.

El artículo de Riemann estudió un problema que ha sido de interés para los matemáticos durante mucho tiempo, a saber, la distribución de números primos. Los números primos también se llaman números primos. Los números primos son números como 2, 5, 19 y 137 que no son divisibles por otros números enteros positivos excepto 1 y él mismo. Estos números son de gran importancia en el estudio de la teoría de números porque todos los números enteros positivos mayores que 1 pueden expresarse como sus productos.

En cierto sentido, su estatus en la teoría de números es similar al de los átomos utilizados para construir todo en el mundo físico. La definición de números primos es lo suficientemente simple como para enseñarla en la escuela secundaria o incluso en la escuela primaria, pero su distribución es tan misteriosa que los matemáticos se han esforzado mucho, pero aún no han podido comprenderla completamente.

Un logro importante del artículo de Riemann es el descubrimiento de que el secreto de la distribución de los números primos está completamente oculto en una función especial, especialmente en una serie de pares de puntos especiales de números primos que hacen que esa función tome un valor. de cero. El patrón detallado de distribución tiene una influencia decisiva. Esa función ahora se llama función zeta de Riemann, y esa serie de puntos especiales se llama ceros no triviales de la función zeta de Riemann.

Curiosamente, aunque los resultados del artículo de Riemann fueron significativos, el texto fue extremadamente conciso, incluso demasiado conciso, porque incluía muchas "pruebas omitidas". Lo terrible es que originalmente se suponía que la "omisión de prueba" omitía pruebas obvias, pero este no fue el caso en el artículo de Riemann. Algunas de sus "omisiones de prueba" tardaron décadas en descubrirse. ellos, y algunos de ellos todavía están en blanco incluso hoy.

Sin embargo, además de muchas "omisiones de prueba", el artículo de Riemann sorprendentemente incluía una proposición que admitió explícitamente que no podía probar. Esa proposición era la Hipótesis de Riemann. Han pasado más de 150 años desde el "nacimiento" de la Hipótesis de Riemann en 1859. Durante este período, ha sido como una montaña imponente, que ha atraído a innumerables matemáticos para escalarla, pero nadie ha podido llegar a la cima.

Alguien ha contado que existen más de mil proposiciones matemáticas en la literatura matemática actual basadas en el establecimiento de la Hipótesis de Riemann (o su forma generalizada). Si se prueba la Hipótesis de Riemann, todas esas proposiciones matemáticas pueden ser promovidas a teoremas; a la inversa, si se falsa la Hipótesis de Riemann, al menos algunas de esas proposiciones matemáticas serán enterradas con ellas.

Referencia: Enciclopedia Baidu-Hipótesis de Riemann