Álgebra avanzada 5

Operaciones unarias y operaciones binarias

1. Operaciones unarias y operaciones binarias

Definición 10.1 Supongamos que S es un conjunto y la función f: S → S es llamada Una operación unaria en S.

Ejemplo 10.1 (1) Encontrar el opuesto de un número es una operación unaria en el conjunto de los números enteros Z, el conjunto de los números racionales Q y el conjunto de los números reales R.

(2 ) Encontrar el recíproco de un número es una operación unaria sobre el conjunto de números racionales distintos de cero y el conjunto de números reales distintos de cero.

(3) Hallar. el ***yugo de un número complejo es una operación unaria en el conjunto C de números complejos

(4) En el conjunto potencia P(S), si el conjunto universal se especifica como S, entonces. la operación de complemento absoluto del conjunto es una operación unaria en P(S).

(5) Sea el conjunto El conjunto de todas las funciones biyectivas en S es, luego encontrar la función inversa de la función biyectiva es. una operación unaria sobre A.

(6) En el conjunto (R) de números reales de orden n (n≥2), encontrar la matriz transpuesta de una matriz es una operación unaria sobre (R ).

Nota: Para verificar si la operación anterior en S es una operación unaria, se deben verificar dos puntos principales:

(1) Cualquier elemento en S puede realizar esta operación. y el resultado de la operación es único.

(2) El resultado de cualquier operación en cualquier elemento en S todavía está en S, es decir, S está cerrado a la operación

Definición. 10.2 Supongamos que S es un conjunto y la función f: S Ⅹ S → S se llama operación binaria en S.

Nota: Verificar si la operación anterior de S es una operación binaria también verifica principalmente dos puntos:

(1) Dos elementos cualesquiera en S pueden realizar esta operación, y la operación The el resultado es único.

(2) El resultado de cualquier operación de dos elementos en S todavía está en S (la operación está cerrada).

Ejemplo 10.2 (1) Conjunto de números naturales. N La suma y la multiplicación son operaciones binarias en N, pero la resta y la división no lo son.

(2) La suma, la resta y la multiplicación en el conjunto entero Z son todas operaciones binarias en Z, pero la división no lo es.

(3) La suma, resta y multiplicación en el campo de números reales R y el campo de números racionales Q son todas operaciones binarias, pero la división no es multiplicación y división en el campo de números reales distintos de cero y; el campo de números racionales distintos de cero son operaciones binarias, pero la suma y la resta no lo son.

(4) En el conjunto M n(R) formado por todas las matrices reales de orden n (n≥2), la suma y multiplicación de matrices son operaciones binarias.

(5) S es cualquier conjunto, entonces ∪, ∩, -, ⊕ son operaciones binarias sobre el conjunto potencia P(S) de S.

(6) S es un conjunto , el conjunto formado por todas las funciones en S es. Entonces, la operación compuesta de la función es una operación binaria.

Nota: Habitualmente se utilizan los símbolos *, , ·, ..., etc. para representar operaciones, los cuales se denominan operadores.

Ejemplo 10.3 Supongamos operaciones binarias en el campo de números reales R: ? x, y ∈ R, x * y = x, cálculo

Solución:

En Además de usar expresiones de funciones, las operaciones unarias y binarias en el conjunto finito S también se pueden realizar usando tablas de operaciones. El formato general de las tablas de operaciones es:

Ejemplo 10.4 Supongamos S=, proporcione P( Tabla de operaciones; para la operación de complemento ~ y la operación de diferencia simétrica ⊕ en S), donde el conjunto completo es S.

Solución: La tabla de operaciones requerida es la siguiente:

Ejemplo 10.5 Supongamos S=, defina la operación binaria en S de la siguiente manera: xy=(xy) (mod 5), ( ? x , y ∈ S)

Encuentra la tabla de operaciones para la operación.

Solución: La tabla de operaciones requerida es la siguiente:

2. Elemento identidad, elemento cero y elemento inverso de elemento en operación binaria

Definición 10.3 Establecer como un conjunto de operaciones binarias en S.

(1) Si ? ∈ S (o ? ∈ S ), entonces para ? x ∈ S

x = x (o x=x )

se dice que es el elemento de identidad izquierdo en S con respecto a la operación ? (llamado elemento de identidad derecho en S con respecto a la operación ?).

Si e ∈ S es a la vez un elemento de identidad izquierdo y un elemento de identidad derecho con respecto a la operación ?, se llama elemento de identidad o elemento unitario.

(2) Si ? θ l ∈ S (o ? θ r ∈ S), tal que para ? x ∈ S

θ l x = θ l (o x θ r = θ r )

Entonces se dice que θ l es el elemento cero izquierdo en S con respecto a las operaciones (se dice que θ r es el elemento cero derecho en S con respecto a las operaciones). Si θ ∈ S es tanto un elemento cero izquierdo como un elemento cero derecho con respecto a la operación, entonces se dice que es el elemento cero en S con respecto a la operación.

(3) Supongamos que e ∈ S es el elemento identidad de la operación, x ∈ S. Si $ ∈ S (o $ ∈ S), tal que

i x = e (o x =e )

se dice que es el elemento inverso izquierdo del elemento x bajo la operación (llamado El elemento inverso derecho del elemento x bajo la operación).

Si y ∈ S es tanto el elemento inverso izquierdo como el elemento inverso derecho de x, entonces se dice que y es el elemento inverso de x bajo la operación . Se dice que los elementos con elementos inversos son reversibles.

Nota 1

? En el conjunto numérico N, Z, Q, R, 0 es el elemento identidad de la suma y 1 es el elemento identidad de la multiplicación

? En el conjunto de matrices reales de orden n M n (R), la matriz de orden n con todos 0 es el elemento de identidad de la suma de matrices, y la matriz de identidad de orden n es el elemento de identidad de la multiplicación de matrices. ;

? En el conjunto de potencias P On (S), F es el elemento identidad de la operación ∪, el conjunto S es el elemento identidad de la operación ∩ y F también es el elemento identidad de la operación de diferencia simétrica ⊕;

? En lo anterior, la matriz identidad I A es una función compuesta La unidad de operación.

Nota 2

? En los conjuntos de números N, Z, Q, R, no hay un elemento cero para la suma y 0 es el elemento cero para la multiplicación

? En M n(R), la suma de matrices no tiene elementos cero, y una matriz de orden n con todos ceros es el elemento cero de la multiplicación de matrices.

? el conjunto completo S es el elemento cero de la operación ∪, F es el elemento cero de la operación ∩, ⊕ no tiene elemento cero

Nota 3

? N, sólo el 0 tiene un inverso aditivo, que es él mismo;

? En los conjuntos de números Z, Q, R, cada número x tiene un elemento inverso respecto de la operación de suma, es decir, su número opuesto – x;

? En los conjuntos de números Q, R , cada elemento numérico distinto de cero – M Cada matriz real invertible de n orden tiene un elemento inverso con respecto a la multiplicación de matrices

<; p> ? En P(S), respecto a la operación de unión ∪, sólo F tiene un elemento inverso, que es él mismo

En cuanto a la operación de intersección ∩, sólo el conjunto completo S tiene un elemento inverso, el cual; es él mismo.

Teorema 10.1 (1) Sea una operación binaria sobre S. Si hay una unidad izquierda y una unidad derecha para esta operación en S, entonces debe haber un elemento identidad e, y = =e.

(2) El elemento de identidad para operaciones en S es único.

Prueba: (1) Porque es el elemento unitario derecho, entonces = ;

Y porque es el elemento unitario izquierdo, entonces = . Así = .

Sea e = = , es fácil ver que e es el elemento identidad.

(2) Supongamos que e y e ' son elementos unitarios para operaciones en S, entonces

e=e e ' = e'

Se puede ver que la unidad Yuan es única.

Teorema 10.2 (1) Sea una operación binaria sobre S. Si hay un elemento cero izquierdo θ l y un elemento cero derecho θ r para esta operación en S, entonces debe haber un elemento cero θ y θ l = θ r = θ .

(2 ) En S El elemento cero con respecto a las operaciones es único.

La demostración es similar al teorema anterior y se deja como ejercicio.

Se supone que el teorema 10.3 es una operación binaria en S, y e y θ son el elemento identidad y el elemento cero de la operación, respectivamente. Si S tiene al menos dos elementos, entonces e≠ q .

Prueba: Utilice prueba por contradicción. Supongamos que e= θ, entonces para ?x ∈ S, x= xe= xθ = θ. Esto es contradictorio con el hecho de que hay al menos dos elementos en S.

El teorema 10.4 es una operación binaria en S que se puede combinar (consulte la definición siguiente para "combinable"), y e es el elemento de identidad de la operación. (1) Si un elemento x en S tiene un elemento inverso izquierdo y un elemento inverso derecho bajo la operación, entonces debe tener un elemento inverso y, y = =y (2) Si x ∈ S tiene un elemento inverso bajo; la operación, entonces el elemento inverso es único.

Prueba: (1) De x = e y x =e, obtenemos

= e = ( x ) = ( x ) = e = .

Sea y = = , entonces es fácil ver que y es el elemento inverso de x.

(2) Supongamos que y e y ' son ambos elementos inversos del elemento x bajo operación, entonces

y ' = y ' e= y '(x y)=(y ' x ) y=e y=y.

Se puede observar que el elemento inverso de x es único.

3. Leyes operativas de las operaciones binarias

Definición 10.4 (1) Sea una operación binaria en el conjunto S. Si para p>

xy=yx,

Entonces se dice que la operación tiene ley conmutativa en S, o se dice que la operación es conmutativa en S.

(2) Sea una operación binaria en el conjunto S. Si para ? S se combina.

(3) Sea una operación binaria en el conjunto S. Si para ?

(4) Sean y · dos operaciones binarias sobre el conjunto S. Si para ? ) (z · x))

Entonces se dice que la operación·par tiene ley distributiva por izquierda (o ley distributiva por derecha). Si un par tiene propiedades distributivas tanto izquierda como derecha, entonces se dice que el par tiene una propiedad distributiva.

Definición 10.5

(1) Sean y · dos operaciones binarias conmutativas en el conjunto S. Si para ? x , y ∈ S, ambos

Si · tiene una ley de absorción para · y · también tiene una ley de absorción, entonces la operación · y en S se dice que es absorbente.

(2) Supongamos que es una operación binaria en el conjunto S. Si para ?x, y, z ∈ S, hay

y=z

O ambos (yx=zx ∧x ≠elemento cero) ?y=z)

Entonces se dice que la operación tiene ley de eliminación por izquierda (o tiene ley de eliminación por derecha) sobre ley S). Si una operación tiene leyes de eliminación izquierda y derecha en S, se dice que tiene la ley de eliminación en S.

Nota 1.

Las operaciones binarias comunes satisfacen la ley conmutativa, la ley asociativa, la ley idempotente y la ley de eliminación:

conjunto Ejemplos donde unión e intersección; no satisface la ley de eliminación:

A=, B=, C=, D=,

Entonces A∪C=B∪C=, pero A≠B

p>

A∩C=D∩C=, pero A≠D

? Ejemplos de operaciones compuestas de funciones que no satisfacen la ley de eliminación:

Nota 2.

★ La multiplicación de números en el conjunto N, Z, Q, R, C tiene la ley distributiva a la suma

★ En la matriz real de orden n; set M n(R) La multiplicación de matrices tiene ley distributiva hasta la suma

★ Las operaciones de intersección y unión del conjunto de potencias P(S) ∩ y ∪ son mutuamente distribuibles.

Nota 3.

Las operaciones ∪ y ∩ en el conjunto de potencias P(S) satisfacen la ley de absorción, es decir, A, B ∈ P(S), ¿hay A? ∪(A∩ B)=A, A∩(A∪B)=A.

Nota 4.

Supongamos que es una operación binaria en el conjunto S. Si un elemento x en S satisface xx=x, entonces x se llama elemento idempotente de la operación. . Obviamente, si las operaciones binarias son idempotentes en S, entonces cada elemento en S es un elemento idempotente de la operación.

Ejemplo 10.6 Para las siguientes operaciones binarias, señale sus propiedades operativas y encuentre el elemento identidad, el elemento cero y los elementos inversos de todos los elementos reversibles.

Solución: (1) * La operación es conmutativa y combinable. Es idempotente y no tiene elemento cero. Porque para , x * 1=1 * x=x, 1 es el elemento identidad. Excepto 1, otros elementos no tienen elemento inverso y el elemento inverso de 1 es él mismo.

(2) ① ∵ Para ?x , y ∈ Q, x * y = x y – xy = y x – yx = y* x , entonces * satisface la ley conmutativa

② ∵ Para ? > x * (y * z ) = x * (y z – yz) = x y z – yz – xz – xy xyz

Se puede observar que * satisface la ley asociativa

③ ∵ a 2 ∈ Q, hay 2*2=2 2–2 ′ 2=0 1 2, por lo que * no satisface la ley de idempotencia

④ ∵ Para ?x , y, z ∈ Q y x 1 1 ( 1 es cero yuanes), hay

x*y = x*z ? z) ?y = z.

Por lo tanto, satisface la ley de eliminación izquierda. Dado que es conmutativo, también satisface la ley de eliminación derecha, por lo tanto *satisface la ley de eliminación

⑤ Porque para ? 0*x, entonces 0 es el elemento identidad de *;

⑥ Porque para ? x ∈ Q, x*1=1=1*x, entonces 1 es el elemento cero de *; >

⑦ Porque para ? > Solución: Por lo tanto, todo elemento x distinto de cero tiene un elemento inverso.

Ejemplo 10.7 Supongamos que A=, las operaciones binarias * en A,,· son las calculadas en la tabla.

(1) Explique si cumplen la ley conmutativa, la ley asociativa, la ley de eliminación y la ley de idempotencia.

(2) Encuentre sus elementos identidad, elementos cero y todos los elementos inversos reversibles.

Tabla

Solución: *La operación satisface la ley conmutativa, ley asociativa y ley de eliminación, pero no satisface la ley de idempotencia. El elemento identidad es a; no hay elemento cero;,.

La operación satisface la ley conmutativa, ley asociativa y ley de idempotencia, pero no satisface la ley de eliminación. El elemento identidad es a y el cero. El elemento es b. Sólo a tiene un elemento inverso.

·La operación satisface la ley conmutativa, la ley asociativa y la ley idempotente, pero no satisface la ley conmutativa y la ley de eliminación. No hay elementos identidad ni elementos cero, y no hay elemento inverso para ningún elemento.