La fórmula de mando militar de Han Xin
La fórmula de Han Xin para reclutar tropas:
AAA Pensemos primero en el plan real de Han Xin para reclutar tropas.
Han Xin ordenó a los soldados y les pidió que formaran un pequeño grupo de 3, y finalmente quedó a de manera similar, si había 5 en un grupo, b quedaría en un grupo de 7; , quedaría c.
(Aquí uso "grupo" en lugar de "grupo" y "equipo" porque en la operación real, es posible que el equipo no pueda alinearse en una forma muy cercana a la rectangular Puede ser un grupo pequeño o un grupo pequeño. Durante todo el entrenamiento, las personas en el medio se supervisan entre sí y no permiten la formación de grupos pequeños irregulares fuera de las instrucciones, y luego puedes saber el número de personas restantes mirando. al borde del equipo)
Entonces Han Xin le preguntó al líder de la guardia, ¿cuántas personas hay en el equipo? Después de obtener la respuesta, Han usó el número de la respuesta para verificar el resto después de dividir entre 3, 5 y 7. Si son iguales, el resultado puede ser correcto. De lo contrario, puede calcular la diferencia entre el número de personas reportadas por el jefe de la guardia y el número real de personas en función de la diferencia entre el resto y las bajas recientes, y luego corregirlo al número real de personas.
Si no ha habido ninguna guerra reciente con más de cien bajas (múltiplos de 3*5*7), y los restos son iguales, el resultado debe ser correcto.
BBB
Hablemos del método de cálculo de Han Xin. (Los no repetidos deben ser 105.)
Han Xin ordenó a los soldados y les pidió que formaran un pequeño grupo de 3, y finalmente hubo un; de manera similar, había 5 en un grupo, y b quedan 7 en un grupo Quedan c grupos.
Escrito en términos de teoría de números: número de personas x,
x ==a mod 3==b mod 5 ==c mod 7
Utilice el teorema del resto chino con una ligera modificación (el cálculo puede ser más sencillo que usar el teorema del resto chino directamente, porque a veces el resto será una coincidencia, especialmente cuando el resto es 0 , se puede omitir un elemento de cálculo):
x1== a mod 3==0 mod 5==0 mod 7
x2==0 mod 3==b mod 5 ==0 mod 7
x3==0 mod 3= =0 mod 5==c mod 7
Entonces x==x1+x2+x3 mod 3*5*7 , es decir, x=x1+x2+x3+105*k.
Usando el teorema chino del resto, es
x1==1 mod 3==0 mod 5= =0 mod 7, es decir, x1==1 mod 3==35k1 (un múltiplo de 5*7)
x2==0 mod 3==1 mod 5==0 mod 7, es decir, x2 ==1 mod 5==21k2 (un múltiplo de 3*7)
x3==0 mod 3==0 mod 5==1 mod 7, es decir, x3==1 mod 7= =15k3 (un múltiplo de 3*5)
Entonces se puede obtener x==x1*a+x2*b+x3 *c mod 3*5*7, es decir, x=x1+x2 +x3+105*k.
Obviamente podemos tomar x1=70, x2=21, x3=15.
Este es el origen de los versos del Sutra de Sun Tzu. Esto parece reflejar un hecho histórico. Al igual que el método de nueve divisiones, similar al algoritmo de conteo de Han Xin, alguna vez fue ampliamente utilizado en el conteo real por los antiguos. Debido a que los números tres, cinco y siete son pequeños y fáciles de contar, se convirtieron en una fórmula de conteo y fueron ampliamente utilizados, razón por la cual probablemente surgió esa canción. Creo que es mejor usar tres números como 7, 9 y 10 en el cálculo; sin embargo, en la operación real, es más conveniente usar 3, 5 y 7, ¿no crees?
El lema es: Tres personas caminan setenta millas separadas, cinco árboles tienen veintiuna flores de ciruelo (veintiuno), siete niños se reúnen durante medio mes y lo sabrás después de (quitar) uno ciento cinco. Fácil de recordar. El mecanismo interno es lo que AAA discutió anteriormente.
CCC:
Obviamente, a, como resto de 3, tiene tres valores: 0, 1 y 2 (0 corresponde a ningún resto, o división entera, o múltiplos enteros ) ); De manera similar, b tiene 5 valores y c tiene 7 valores, y no interfieren entre sí, ***3*5*7=105 valores.
De hecho, el resto de cualquier número dividido por 105 naturalmente tiene valores del 0 al 104***105.
DDD:
En cuanto al cálculo, déjame darte un ejemplo:
x=1 mod 3 =2 mod 5 = 3 mod 7 o haz
x==
1 mod 3
2 mod 5
3 mod 7
Obviamente,
x==1*72*21+3*15 mod 105. La clave es que hay un truco en este cálculo y nunca ha sido revelado. En realidad es muy simple. Lo escribí en el siguiente formulario debido a la molestia de escribir, en realidad es mucho más complicado que lo que escribí en el borrador, pero se puede ver la esencia.
x==
1*2 @ 3 (nota que el 2 entre * y @ es la solución de 5*7*@=1 mod 3)
2*1@5
3*1@7
==
-1@3
2@5
3 @ 7
==
1 @ 15
3 @ 7
==7+45 ==52
El secreto aquí es
x==2a*5*7+3*b*7+3*5*c mod 3*5*7 Escrito en Notación matricial:
x==
a*2@3
b*1@5
c* 1@ 7
Y aprovecha la propiedad de que el módulo detrás del par de subelementos se puede tomar como resto y que las posiciones de cada fila son iguales, de modo que el cálculo se puede simplificar inteligentemente y El orden de cálculo se puede cambiar según sea necesario para lograr un valor menor.
En el papel borrador, puedes escribir de manera muy concisa; puedes omitir *1; puedes cooperar con la aritmética mental para resolver y calcular rápidamente expresiones de congruencia.
Para obtener respuestas a ejercicios similares, otras soluciones a este ejemplo y una descripción integral más concisa de soluciones congruentes utilizando la notación congruente de Hong Boyang, escribí sobre mi última publicación de blog "Han Xin" The Army Pointing Fórmula: explique nuevamente el teorema chino del resto en detalle, como referencia.
Aquí solo hablamos de los casos donde el módulo es 3, 5 y 7, de hecho, ¿qué no se puede aplicar a ningún módulo?
EEE
Dado x, use la función =mod(x,a) en Excel para obtener el resto. De la misma manera, podemos obtener 105 conjuntos de restos a, b. , c ;
Luego ordene los resultados tres veces según 3,5,7 (o 7,5,3), para que puedan recuperarse (búsqueda ordenada conveniente)
Dado De un conjunto de restos a, b, c se obtiene el número correspondiente x.
Utilicé esta idea para crear un documento de Excel y le di la tabla correspondiente. También puedes volver a consultar. Busque de la siguiente manera:
Tabla de cálculo de tropas de Han Xin
Después de buscar, puede descargarla gratis con puntos. Bienvenido a comunicarse y hacer correcciones. Gracias.