¿Qué logros logró Riemann?

Riemann (1826～1866), nació el 17 de septiembre de 1826 en el pueblo de Bracelenz en Hannover, al norte de Alemania. Su padre era un pastor pobre en un pueblo rural. Comenzó la escuela a los seis años, ingresó a los estudios preparatorios universitarios a los 14 y a los 19 ingresó en la Universidad de Göttingen para estudiar filosofía y teología según los deseos de su padre, para poder heredar la ambición y la ser sacerdote en el futuro.

Debido a su pasión por las matemáticas desde pequeño, Riemann también tomó algunas clases de matemáticas mientras estudiaba filosofía y teología. En aquella época, la Universidad de Göttingen era uno de los centros de matemáticas del mundo, y algunos matemáticos famosos como Gauss, Weber y Stehr enseñaban en la escuela. Riemann se contagió del ambiente de la enseñanza y la investigación de las matemáticas aquí y decidió abandonar la teología y especializarse en matemáticas.

En 1847, Riemann se trasladó a la Universidad de Berlín para estudiar y se convirtió en alumno de Jacobi, Dirichlet, Steiner y Eisenstein. En 1849, regresó a la Universidad de Godin para estudiar un doctorado y se convirtió en alumno de Gauss en sus últimos años.

En 1851, Riemann se doctoró en matemáticas; en 1854, fue contratado como profesor no titular en la Universidad de Göttingen; en 1857 fue ascendido a profesor asociado; contratado como profesor para suceder al fallecido Dirichlet.

Debido a años de pobreza y fatiga, Riemann comenzó a sufrir pleuresía y tuberculosis menos de un mes después de su matrimonio en 1862, y pasó la mayor parte de los siguientes cuatro años en Italia para recibir tratamiento y recuperación. Murió de enfermedad en Italia el 20 de julio de 1866, a la edad de 39 años.

Riemann es uno de los matemáticos más originales de la historia de las matemáticas mundiales. Los escritos de Riemann no son muchos, pero son sumamente profundos y llenos de creación conceptual e imaginación. En su corta vida, Riemann realizó una gran cantidad de trabajo fundamental y creativo en muchos campos de las matemáticas e hizo grandes contribuciones a las matemáticas mundiales.

Riemann fue el fundador de la teoría de funciones complejas

La creación más singular de las matemáticas en el siglo XIX fue la creación de la teoría de funciones complejas, continuación de la investigación. Antes de 1850, Cauchy, Jacobi, Gauss, Abel y Weierstrass habían realizado investigaciones sistemáticas sobre la teoría de funciones analíticas de un solo valor, mientras que sólo Cauchy y Pisser llegaron a algunas conclusiones aisladas sobre funciones de valores múltiples.

En 1851, bajo la dirección de Gauss, Riemann completó su tesis doctoral titulada "Fundamentos de la teoría general de funciones de variables complejas únicas", y posteriormente publicó cuatro importantes artículos en el "Journal of Mathematics". Profundizó en las ideas de su tesis doctoral. Por un lado, resumió los logros anteriores sobre funciones analíticas de un solo valor y los procesó con nuevas herramientas. Al mismo tiempo, estableció la base teórica de las funciones analíticas de varios valores. y, por lo tanto, proporcionó varias diferentes. Allana el camino para avanzar en esta dirección.

Cauchy, Riemann y Weierstrass son reconocidos como los principales fundadores de la teoría de funciones complejas, y posteriormente se demostró que el método de Riemann es esencial para abordar la teoría de funciones complejas. Las ideas de West y Riemann. se fusionaron y las ideas de Weierstrass pudieron derivarse de la perspectiva de Cauchy-Riemann.

En el tratamiento de Riemann de las funciones multivaluadas, lo más crítico es que introdujo el concepto conocido como "superficie de Riemann" por las generaciones posteriores. La función multivaluada recibe intuición geométrica a través de la superficie de Riemann, y la función multivaluada expresada en la superficie de Riemann es univaluada. Introdujo puntos de apoyo, secciones transversales y definió la conectividad en la superficie de Riemann, realizó investigaciones sobre las propiedades de las funciones y logró una serie de resultados.

Las funciones complejas tratadas por Riemann, las funciones de un solo valor son ejemplos de funciones de varios valores. Extendió algunas conclusiones conocidas de las funciones de un solo valor a las funciones de varios valores, especialmente su análisis de funciones basadas en la conectividad. El método de clasificación promovió en gran medida el desarrollo inicial de la topología. Estudió funciones abelianas, integrales abelianas y sus inversiones, y obtuvo el famoso teorema de Riemann-Roche. La primera transformación birracional formó el contenido principal de la geometría algebraica desarrollada a finales del siglo XIX.

Para completar su tesis doctoral, Riemann dio al final varias aplicaciones de su teoría de funciones en el mapeo conforme, y extendió la conclusión de Gauss de 1825 sobre el mapeo conforme de plano a plano a cualquier superficie de Riemann, y el famoso El teorema de mapeo de Riemann se proporciona al final del texto.

El fundador de la geometría riemanniana

La contribución más importante de Riemann a las matemáticas radica en la geometría. Fue pionero en la investigación sobre geometría abstracta de alta dimensión y los métodos y medios para abordar problemas geométricos. Fue una profunda revolución en la historia de la geometría. Estableció un nuevo sistema geométrico que luego recibió su nombre y que tuvo un gran impacto en el desarrollo de la geometría moderna e incluso en diversas ramas de las matemáticas y las ciencias.

En 1854, para obtener el título de profesor externo en la Universidad de Göttingen, Riemann dio una conferencia a todos los profesores. La conferencia se publicó dos años después de su muerte (1868). el título "Sobre la geometría como geometría" Publicado bajo el título "Supuestos básicos". En su discurso, ofreció una visión general de todas las geometrías conocidas, incluida la geometría hiperbólica, una de las recién nacidas geometrías no euclidianas, desde la antigüedad hasta la actualidad, y propuso un nuevo sistema geométrico, más tarde conocido como geometría de Riemann.

Para competir por un premio de la Academia de Ciencias de París, Riemann escribió en 1861 un artículo sobre la conducción del calor, que más tarde se conoció como su "obra de París". Este artículo realiza un procesamiento técnico de su artículo de 1854 para aclarar aún más sus ideas geométricas. El artículo fue recogido póstumamente en sus Obras completas en 1876.

Riemann estudió principalmente las propiedades locales del espacio geométrico. Adoptó el enfoque de la geometría diferencial, que es el mismo que se encuentra en la geometría euclidiana o en las obras de Gauss, Boljo y Lobachevsky. el todo es antitético en la geometría no euclidiana. Riemann se deshizo de las limitaciones de Gauss y otros predecesores que limitaban los objetos geométricos a curvas y superficies en el espacio euclidiano tridimensional, y estableció un espacio geométrico abstracto más general a partir de las dimensiones.

Riemann introdujo los conceptos de variedad y variedad diferencial, llamando al espacio dimensional variedad. Un punto en la variedad dimensional puede representarse mediante un conjunto específico de valores de un parámetro variable, y la totalidad de. todos estos puntos constituyen la variedad misma. Este parámetro variable se llama coordenada de la variedad y es diferenciable cuando las coordenadas cambian continuamente, el punto correspondiente atraviesa la variedad.

Riemann siguió la geometría diferencial tradicional para definir la distancia entre dos puntos de la variedad, las curvas de la variedad y el ángulo entre las curvas. Con base en estos conceptos, llevamos a cabo investigaciones sobre las propiedades geométricas de variedades dimensionales. En variedades dimensionales, también definió una curvatura similar al método de Gauss para describir el grado de curvatura de una superficie al estudiar superficies generales. Demostró que cuando la dimensión de su variedad dimensional es igual a tres, la situación del espacio euclidiano es consistente con los resultados obtenidos por Gauss y otros. Por lo tanto, la geometría de Riemann es una extensión de la geometría diferencial tradicional.

Riemann desarrolló la idea geométrica de Gauss de que una superficie curva en sí misma es un espacio y llevó a cabo investigaciones sobre las propiedades intrínsecas de las variedades dimensionales. La investigación de Riemann condujo al nacimiento de otra geometría no euclidiana: la geometría elíptica.

En opinión de Riemann, existen tres geometrías diferentes. La diferencia radica en el número de rectas paralelas trazadas a través de un punto dado hasta una recta dada. Si sólo se puede dibujar una línea paralela, es la conocida geometría euclidiana; si no se puede dibujar ninguna, es geometría elíptica; si hay un conjunto de líneas paralelas, se obtiene la tercera geometría, es decir, la geometría de Lobacher Vski; Por lo tanto, Riemann desarrolló la teoría del espacio después de Lobachevsky, lo que puso fin a la discusión sobre el axioma de las paralelas de Euclides durante más de mil años. Afirmó que el espacio objetivo es una variedad especial, previendo la existencia de variedades con ciertas propiedades específicas. Estos fueron gradualmente confirmados uno por uno por las generaciones posteriores.

Dado que Riemann considera espacios geométricos de dimensiones arbitrarias, tiene un valor práctico más profundo para espacios objetivos complejos. Por lo tanto, en geometría de alta dimensión, debido a la complejidad de los diferenciales multivariables, Riemann adoptó algunos métodos diferentes a los de sus predecesores para hacer la expresión más concisa, lo que finalmente condujo al nacimiento de herramientas geométricas modernas como los tensores, externos. diferenciales y conexiones. Einstein utilizó con éxito la geometría de Riemann como herramienta para geometrizar la relatividad general. Ahora, la geometría de Riemann se ha convertido en una base matemática esencial para la física teórica moderna.

Contribuciones creativas a la teoría del cálculo

Además de su trabajo pionero sobre geometría y funciones complejas, Riemann también fue conocido por su contribución a la teoría del cálculo perfecto que surgió a principios del siglo XIX. Sus destacadas contribuciones han quedado registradas en la historia.

Desde finales del siglo XVIII hasta principios del XIX, la comunidad matemática comenzó a preocuparse por la imprecisión en los conceptos y demostraciones del cálculo, la rama más grande de las matemáticas. Bolzano, Cauchy, Abel, Dirichlet y Weierstrass se dedicaron todos al riguroso trabajo de análisis. Riemann estudió matemáticas con Dirichlet en la Universidad de Berlín y tenía un conocimiento profundo del trabajo de Cauchy y Abel, por lo que tenía conocimientos únicos sobre la teoría del cálculo.

En 1854, para obtener el título de profesor externo en la Universidad de Göttingen, Riemann debía presentar un trabajo que reflejara su nivel académico. Lo que entregó fue un artículo "Sobre la posibilidad de utilizar series trigonométricas para representar una función". Se trata de una obra maestra rica y reflexiva que tendrá un profundo impacto en la mejora de la teoría analítica.

Cauchy demostró una vez que las funciones continuas deben ser integrables, y Riemann señaló que las funciones integrables no son necesariamente continuas. Cauchy y casi todos los matemáticos de su tiempo creían en la relación entre continuidad y diferenciabilidad, y en los siguientes 50 años muchos libros de texto "probaron" que las funciones continuas deben ser diferenciables. Riemann dio un famoso contraejemplo de continuidad y no diferenciabilidad y finalmente aclaró la relación entre continuidad y diferenciabilidad.

Riemann estableció el concepto de integral de Riemann tal como se enseña en los libros de texto de cálculo actuales, y dio las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de esta integral.

Riemann utilizó su propio método único para estudiar las series de Fourier, y generalizó la condición de Dirichlet que asegura el establecimiento de la expansión de Beaulieu, es decir, la condición de Riemann para la convergencia de series trigonométricas, y obtuvo la relación entre Series trigonométricas y series de Fourier. Una serie de teoremas sobre la convergencia y la integrabilidad de los números. También demostró que los términos de cualquier serie condicionalmente convergente se pueden reordenar apropiadamente para hacer que la nueva serie converja a cualquier suma o divergencia especificada.

Resultados de la teoría analítica de números a lo largo de los siglos

Un avance importante en la teoría de números en el siglo XIX fue la introducción de métodos y resultados analíticos de los que fue pionero Dirichlet, mientras que Riemann fue pionero en el uso. de números complejos Las funciones analíticas son un precedente para el estudio de problemas de teoría de números y han logrado resultados a lo largo de los siglos.

En 1859, Riemann publicó el artículo "El número de números primos bajo un tamaño determinado". Se trata de un artículo extremadamente profundo de menos de diez páginas. Reduce el problema de la distribución de números primos al problema de las funciones, ahora llamadas funciones de Riemann. Riemann demostró algunas propiedades importantes de las funciones y afirmó brevemente otras sin probarlas.

En los más de 100 años transcurridos desde la muerte de Riemann, muchos de los mejores matemáticos del mundo han hecho todo lo posible para probar sus afirmaciones y, en el proceso de realizar estos esfuerzos, han creado una base para el análisis. Nueva sucursal con rico contenido. Hoy, todas sus afirmaciones menos una han sido resueltas como esperaba Riemann.

Ese problema no resuelto ahora se llama "Hipótesis de Riemann", es decir: todos los puntos cero en el área de la franja están ubicados en esta línea (pregunta número 8 de los 23 problemas de Hilbert), que nadie tiene demostrado hasta el momento. Para algunos otros dominios, los miembros de la escuela Bourbaki han demostrado la correspondiente hipótesis de Riemann. La solución a muchos problemas de teoría de números depende de la solución de esta conjetura. El trabajo de Riemann no sólo fue una contribución a la teoría analítica de números, sino que también enriqueció enormemente el contenido de la teoría de funciones variables complejas.

Pionero de la topología combinatoria

Antes de la publicación de la tesis doctoral de Riemann, había algunos resultados dispersos sobre topología combinatoria, entre los que destacan los resultados de Euler sobre los vértices y aristas de curvas cerradas. poliedros convexos, teorema de relación de números de superficie de Euler. También hay algunos problemas aparentemente simples que no se han resuelto durante mucho tiempo: como el problema de los siete puentes de Königsberg y el problema de los cuatro colores, que llevaron a la gente a estudiar la topología combinatoria (entonces conocida como geometría de posiciones o análisis de posiciones). . Pero el mayor impulso para la investigación topológica provino del trabajo de Riemann sobre la teoría de funciones de variables complejas.

Riemann enfatizó en su tesis doctoral de 1851 y en su investigación sobre las funciones abelianas que para estudiar funciones se necesitan inevitablemente algunos teoremas de análisis posicional. En términos topológicos modernos, Riemann en realidad clasificó las superficies cerradas según el género. Vale la pena mencionar que en su disertación, dijo que la idea de que ciertas funciones están compuestas por regiones cerradas conectadas (de puntos espaciales) es la idea funcional más antigua.

Betty, profesora de matemáticas en la Universidad de Pisa, conoció a Riemann en Italia. Riemann estaba enfermo en ese momento y ya no podía seguir desarrollando sus ideas, por lo que le enseñó a Betty sus métodos. . Betty amplió la clasificación topológica de las superficies de Riemann a la conectividad de gráficos de alta dimensión e hizo contribuciones destacadas en otros campos de la topología. Riemann es un merecido pionero de la topología combinatoria.

Contribuciones de código abierto a la geometría algebraica

En la segunda mitad del siglo XIX, la gente se interesó mucho en el método de Riemann para estudiar las transformaciones racionales dobles creadas por las integrales y funciones abelianas. . En aquella época llamaron geometría algebraica al estudio de las invariantes algebraicas y de las transformaciones birracionales.

En su artículo de 1857, Riemann creía que todas las ecuaciones (o superficies) que pueden transformarse biracionalmente entre sí pertenecen a la misma categoría y tienen el mismo género. Riemann llamó al número de constantes "módulo de clase", y las constantes son invariantes bajo transformaciones biracionales. El concepto de "cuasi módulo" es un caso especial del actual "módulo paramétrico", y el estudio de estructuras en módulos paramétricos es uno de los campos más populares en los tiempos modernos.

El famoso geómetra algebraico Claybush llegó más tarde a la Universidad de Göttingen como profesor de matemáticas. Se familiarizó más con el trabajo de Riemann y le dio un nuevo desarrollo. Aunque Riemann murió joven, el mundo reconoce que el primer gran paso en el estudio de la transformación biracional de las curvas fue causado por el trabajo de Riemann.

Riemann también logró resultados fructíferos en otros campos como la física matemática y las ecuaciones diferenciales.

Riemann no sólo hizo contribuciones trascendentales a las matemáticas puras, sino que también estaba muy preocupado por la relación entre la física y las matemáticas y el mundo físico. Escribió algunos artículos sobre el calor, la luz, el magnetismo, la teoría de los gases, Mecánica de fluidos y acústica. Artículos relacionados sobre este aspecto. Fue la primera persona en tratar matemáticamente las ondas de choque, intentó unificar la gravedad y la luz y estudió la estructura matemática del oído humano. Realizó investigaciones concluyentes sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales abstraídas de problemas físicos y logró una serie de resultados fructíferos.

Riemann trató las ecuaciones diferenciales hipergeométricas y la discusión de ecuaciones diferenciales lineales de orden con coeficientes algebraicos. Este es un documento importante sobre la teoría de la singularidad de las ecuaciones diferenciales.

En la segunda mitad del siglo XIX, muchos matemáticos dedicaron mucha energía a estudiar el problema de Riemann, pero todos fracasaron. No fue hasta 1905 que Hilbert y Kellogg utilizaron la teoría de ecuaciones integrales que tenía. Se desarrolló en ese momento para resolver el problema por primera vez. Se da una solución completa una vez.

Riemann también hizo contribuciones al estudio de funciones automorfas en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias en sus conferencias sobre series hipergeométricas de 1858 a 1859 y en un artículo sobre superficies regulares mínimas publicado en 1867. En esta obra póstuma, Estableció la teoría de funciones automórficas introducida para el estudio de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, que ahora se conoce comúnmente como teorema de Riemann-Schwartz.

En la teoría y aplicación de ecuaciones diferenciales parciales, Riemann propuso creativamente un nuevo método para resolver el problema del valor inicial de la ecuación de onda en su artículo de 1858 a 1859, que simplificó la dificultad de muchos problemas físicos; También generalizó el teorema de Green; hizo un trabajo sobresaliente sobre el principio de Dirichlet sobre la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales...

Notas de conferencias sobre ecuaciones diferenciales parciales utilizadas por Riemann en física, posteriormente editadas por Weber y publicadas "Differential" Ecuaciones en Física Matemática", una obra maestra histórica.

Sin embargo, el trabajo creativo de Riemann no fue reconocido unánimemente por la comunidad matemática de la época. Por un lado, sus ideas eran demasiado profundas y difíciles de entender para la gente de la época sin el concepto de libre circulación. , un espacio riemanniano muy curvo sería difícil de aceptar, y no fue hasta el surgimiento de la relatividad general que las críticas fueron sofocadas; por otro lado, algunos de sus trabajos no fueron lo suficientemente rigurosos, como el; El mal uso del principio de Dirichlet al demostrar el teorema de mapeo de Riemann y el teorema de Riemann-Rohe causó mucha controversia.

El trabajo de Riemann afectó directamente el desarrollo de las matemáticas en la segunda mitad del siglo XIX. Muchos matemáticos destacados volvieron a demostrar los teoremas afirmados por Riemann. Bajo la influencia de las ideas de Riemann, muchas ramas de las matemáticas lograron logros brillantes. .