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Supongamos que el foco derecho de la elipse c: x2/a2 y2/B2 = 1 (a > b gt; 0) es f. La recta L que pasa por f corta la elipse C en los puntos A y B. El ángulo de inclinación de la recta L es 60 grados, vector AF=2FB.

(1) Encuentra la excentricidad de la elipse c.

(2) Si |AB|=15/4, encuentre la ecuación de la elipse c.

Solución general:

(1) Análisis: ∵ Elipse C: X ^ 2/A ^ 2 Y ^ 2/B ^ 2 = 1(A > B gt; 0 ) , ∴ establezca su foco derecho F(c, 0)

Supongamos que AB es x = my c = = gt x^2=m^2y^2 2mcy c^2

Sustituye en la elipse (b 2m 2 a 2) y 2 2b 2mcy b 2c 2-a 2b 2 = 0.

Teorema de Vietta y1 y2 =-2b 2mc/(b 2m 2 a 2), y 1 y2 =(b 2c 2-a 2b 2)/(b 2m 2 a 2).

El ángulo de inclinación de la recta l es de 60 grados, ∴m=√3/3.

y1 y2=-2√3b^2c/[3(b^2/ 3 a ^2)], y1y2=( -b^4)/(b^2/3 a^2)

∵ vector AF=2FB, es decir (c-x1,-y1) = 2 (x2 -c, y2), es decir, y1=-2y2.

∴y2=2√3b^2c/[3(b^2/3 a^2)]

y2^2=(b^4)/[2(b ^2/3 a^2)]

∴4b^4c^2/[3(b^2/3 a^2)^2]=(b^4)/[2(b^ 2/3 a^2)]

8c^2/(b^2 3a^2)=1

8c^2=b^2 3a^2==gt; 9c^2=4a^2==gt; e=2/3

(2) Análisis: | AB | = √( 1 m2)* | p>

2√3/3 * | y 1-y2 | = 15/4 = = gt; |y1-y2|=15√3/8

Se puede ver en (1 ) que y 1 =-2 y2 = >；y2=5√3/8

∵e=2/3, ∴c=2/3a, b=√5/3a

y2 =(2b^2c/√3)/(1/3b^2 a^2)==gt; y2=5√3/24a

∴a=3, b=√5

∴x^2/9 y^2/5=1

Método de coordenadas polares:

(1) Análisis: Ecuación de coordenadas polares elípticas: ρ= EP/( 1-ecosθ) (0 < e < 1, p es la distancia del foco a la directriz).

| AF | = 2 | BF |

∴ep/(1-ecos60)= 2ep/(1-ecos 240)

∴e=2 /3

(2)EP/(1-ecos 60) EP/(1-ecos 240)= 15/4

e=c/a=2/3

p=b^2/c=(a^2-c^2)/c=5/2

a^2=9, c^2=4, b^2 =5

La ecuación es x ^ 2/9 y ^ 2/5 = 1.