Problemas de matemáticas de secundaria

(3)f(x)=lnx/x 1/x,

La derivada es: f'(x)=(1-lnx)/x^2-1 /x^2=-lnx/x^2

Entonces, cuando xgt; 1, f'(x)lt 0, la función disminuye.

Cuando 0lt;xlt;1, f’(x)gt;0, la función aumenta.

Entonces cuando x=1, la función alcanza el valor máximo, que también es el valor máximo.

∴f(x)≤f(1)=0 1=1,

Es decir, dentro del dominio de definición, f(x)≤1 siempre es verdadera.

Porque f(x)≤1, es decir, lnx/x 1/x≤1,

lnx/x≤1-1/x.

Respectivamente Sean x=2^2, 3^2, 4^2,..., n^2:

ln2^2/2^2lt; p>

ln3^2/3^2lt;1-1/3^2,

ln4^2/4^2lt;1-1/4^2,

… …,

lnn^2/n^2lt; 1-1/n^2,

Las fórmulas anteriores se suman:

ln2^ 2/ 2^2 ln3^2/3^2 ln4^2/4^2 …… lnn^2/n^2

lt; 2 1 -1/4^2 …… 1-1/n^2

=(n-1)-( 1/2^2 1/3^2 1/4^2 …… 1 /n ^2)

lt;(n-1)-(1/(2*3) 1/(3*4) 1/(4*5) …… 1/(n(n 1) )

=(n-1)-(1/2-1/3 1/3-1/4 1/4-1/5 …… 1/n-1/(n 1 ))

=(n-1)- (1/2-1/(n 1))

= n-3/2 1/(n 1)

=(2n^2 2n-3n-3 1)/[2(n 1)]

=(2n^2-n-2)/[2(n 1)]

lt;(2n^2-n-1)/[2(n 1)]

=(2n 1)(n-1)/[2(n 1)] ,

∴ln2^2/2^2 ln3^2/3^2 ln4^2/4^2 …… lnn^2/n^2

lt; 1) (n-1) /[2(n 1)].