Altos rendimientos
En la antigüedad, el valor π=3 se utilizó durante mucho tiempo, y se utilizó en Babilonia, India y China. En el siglo II a. C., el "Zhou Bi Suan Jing" de China ya tenía un registro de los tres diámetros de pi. Los matemáticos de la dinastía Han del Este cambiaron este valor a la base de 10 (aproximadamente 3,16). La primera persona que verdaderamente basó el cálculo de pi en una base científica debe atribuirse a Arquímedes. Discutió específicamente la "Medición de círculos" en un artículo, utilizando métodos geométricos para demostrar que la relación entre pi y el diámetro de un círculo es menor que tres y un séptimo, pero mayor que tres y setenta y un décimos. Esta es la primera vez que se utilizan límites superior e inferior en ciencia para determinar aproximaciones. La primera persona en utilizar el método correcto para calcular π fue Liu Hui durante las dinastías Wei y Jin. En el año 263 d.C., creó un método para calcular aproximadamente el área de un círculo utilizando el área de un polígono regular dentro de un. círculo y calculó que el valor de π era 3,14. Este método se llama "corte circular" en China. No fue hasta 1.200 años después que Occidente encontró un método similar. Para conmemorar la contribución de Liu Hui, el 3.14 se denominó "Tasa Hui".
En el año 460 d.C., Zu Chongzhi de la Dinastía del Sur calculó el valor de π utilizando la técnica de corte circular de Liu Hui, que tenía una precisión del séptimo decimal, es decir, 3,1415926. Este fue el primer dígito. número en el mundo en ese momento π como decimal. Zu Chongzhi también descubrió dos fracciones: Zu Chongzhi también descubrió dos fracciones: 22/7 y 113/355. Usó estas dos fracciones para reemplazar π después del punto decimal, lo que simplificó enormemente el cálculo. que mil años.
La π de Zu Chongzhi ostenta el récord mundial desde hace más de mil años. Finalmente, el matemático holandés Rudolf rompió el récord en 1596. Empujó el valor de π al 15.º decimal y, finalmente, al 35.º decimal. Para conmemorar sus logros, cuando murió en 1610, se grabó en su lápida el número 3.14159265358979323846264338327950288. A partir de entonces, también se le llamó "el número de Ludwig".
Desde entonces, el trabajo de cálculo de los matemáticos occidentales ha progresado rápidamente. En enero de 1948, Ferguson y Reich colaboraron para calcular el valor de π en decimal 808. Después de la llegada de las computadoras, también comenzó el cálculo de los valores de π. En la década de 1950, la gente usaba computadoras para calcular el valor de π con 100.000 decimales. En la década de 1970, se batió este récord y se calculó el valor de π con 1,5 millones de decimales. A principios de la década de 1990, utilizando nuevos métodos de cálculo, el valor calculado alcanzó los 480 millones. El cálculo de π ha pasado por miles de años de historia, y cada avance importante que ha logrado está marcado por innovaciones tecnológicas y algorítmicas.
Cálculo de π
π es un número muy famoso. Este número ha atraído el interés tanto de la gente común como de los académicos desde el comienzo de los registros escritos. Como constante muy importante, π se utilizó por primera vez para resolver problemas de cálculo relacionados con círculos. Sólo por esta razón, es extremadamente urgente encontrar la aproximación más precisa posible. De hecho, ha sido el objetivo de los matemáticos durante miles de años, y generaciones de matemáticos nacionales y extranjeros han dedicado su sabiduría y su trabajo a este fin. Mirando hacia atrás en la historia, el proceso de comprensión humana de π refleja el desarrollo de las matemáticas y la tecnología informática desde un lado. El estudio de π refleja, en cierta medida, el nivel de matemáticas en esa región o época. El historiador alemán de las matemáticas Cantor dijo: "La precisión del cálculo de π de un país en la historia puede utilizarse como un indicador del nivel de desarrollo matemático del país en ese momento. Hasta principios del siglo XIX, encontrar el valor de pi se consideraba un número". un problema en matemáticas. Para encontrar el valor de π, la humanidad ha recorrido un camino largo y sinuoso, y su historia es muy interesante. Podemos dividir este viaje informático en varias etapas.
Fase Experimental
Estimar experimentalmente el valor de π es la primera fase del cálculo de π.
Esta estimación del valor de π se realiza esencialmente mediante observación o experimento y se basa en mediciones reales de la circunferencia y el diámetro de un círculo. En el mundo antiguo, el valor π=3 se utilizó durante mucho tiempo. Los primeros registros escritos son pasajes de la Biblia cristiana donde se considera que la circunferencia de un círculo es 3. Este pasaje describe eventos que ocurrieron alrededor del 950 a.C. Otros países, como Babilonia, India, China, etc., ya han adoptado 3 como un valor práctico aproximado y simple. Antes de Liu Hui en China, circulaba ampliamente el dicho "un círculo con un diámetro de uno y una circunferencia de tres". En el primer "Zhou Bi Suan Jing" de mi país, se registra que la conclusión de "tres diámetros de un círculo es uno". En China, los carpinteros han transmitido desde la antigüedad dos lemas: "Tres diámetros son uno, los cuadrados son cinco y las diagonales son siete". Esto significa que un círculo con un diámetro de uno tiene una circunferencia de aproximadamente tres, y un cuadrado con un diámetro de uno. La longitud del lado de cinco tiene una longitud diagonal de aproximadamente siete, esto refleja la estimación aproximada que hacían los primeros de los dos números irracionales ππ y √2. Durante la dinastía Han del Este, la regla oficial era utilizar π como 3 como estándar para calcular el área. Las generaciones posteriores lo llamaron "Gu Su".
En los primeros días se utilizaron otros métodos toscos. Por ejemplo, los antiguos egipcios y griegos usaban granos en círculo para contar el número de granos y compararlos con números cuadrados. O use una tabla de madera equilibrada para cortar círculos y cuadrados, pesarlos y compararlos para obtener... A partir de esto se obtiene un valor de π ligeramente mejor. Por ejemplo, los antiguos egipcios aplicaron 4 (8/9)2 = 3,1605 durante unos cuatro mil años. En la India, en el siglo VI a.C., se tomó π = √10 = 3,162. En el cambio de las dinastías Han del Este y del Oeste en China, Wang Mang de la Nueva Dinastía ordenó a Liu Xin que fabricara un instrumento de medición: Lu Jia Liang Hu. En el proceso de fabricación de contenedores estandarizados, Liu Xin necesitaba utilizar el valor π. Con este fin, obtuvo aproximadamente algunas aproximaciones no uniformes sobre π a través de experimentos. Los cálculos ahora derivados de las inscripciones son 3.1547, 3.1992, 3.1498, 3.2031. El método para calcular el diámetro de un círculo ha mejorado en comparación con el antiguo pi. Este resultado de la exploración humana no tiene mucho impacto en la producción cuando se trata de estimar el área de un campo circular, pero no es adecuado para la fabricación de embarcaciones u otros cálculos.
"Elementos de geometría"
Utilizando métodos experimentales para calcular el valor de π, ya sea especulación intuitiva o medición física, los resultados son bastante aproximados.
El mérito de basar el cálculo de π en una base científica se atribuye en primer lugar a Arquímedes. Fue el primero en realizar un estudio científico de esta constante y el primero en proponer una determinación arbitrariamente precisa del valor de π utilizando métodos matemáticos en lugar de mediciones. A partir de esto, el cálculo de π entra en la segunda etapa.
La circunferencia del círculo es mayor que el cuadrilátero inscrito y menor que el cuadrilátero circunscrito, por lo que 2√2 < π < 4.
Por supuesto, este es un mal ejemplo. Se dice que Arquímedes utilizó un polígono regular de 96 lados para calcular su rango de valores.
El método de Arquímedes para encontrar una aproximación más precisa de π se refleja en uno de sus artículos, "Determinación del círculo". En este libro, Arquímedes usó límites superior e inferior para establecer el valor aproximado de π por primera vez. Usó métodos geométricos para demostrar que "la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo es menor que 3 + (1/7). ) y mayor a 3 + (10/ 71)", y se estimó el error. Es importante destacar que este enfoque conduce teóricamente a valores más precisos de π. Alrededor del año 150 d.C., el astrónomo griego Ptolomeo llegó a π = 3,1416, un enorme avance desde Arquímedes.
Pi. Utilice constantemente el teorema de Pitágoras para calcular las longitudes de los lados de polígonos regulares de N lados.
En China, el matemático Liu Hui ideó por primera vez un pi más preciso. Alrededor del año 263 d.C., Liu Hui propuso la famosa técnica de corte circular y obtuvo π=3,14, comúnmente conocida como "tasa Hui". Aunque propuso pi un poco después que Arquímedes, su método es de hecho más maravilloso que el de Arquímedes. Pi puede determinar los límites superior e inferior de pi utilizando sólo polígonos ortogonales conectados internamente, lo cual es mucho más simple que el uso de Arquímedes de polígonos ortogonales conectados internamente con tangentes externas. Además, algunas personas creen que Liu Hui proporcionó un método inteligente para organizar pi, de modo que al realizar un promedio ponderado simple de varias aproximaciones aproximadas cortadas en 192 lados, en realidad obtuvo un pi con cuatro cifras significativas. 3.1416.
Y este resultado, como señaló el propio Liu Hui, si desea obtener este resultado, debe calcular el pi cortando 3072 lados. Los resultados de este método de acabado son sorprendentes. Esta maravillosa técnica de acabado es la mejor parte de la tecnología tangencial, pero lamentablemente ha estado enterrada durante mucho tiempo por falta de comprensión de la misma.
Me temo que estamos más familiarizados con la contribución de Zu Chongzhi. Respecto a esto, "Sui Shu - Lü Li Zhi" tiene el siguiente registro: "Al final de la dinastía Song, Xuzhou del Sur estaba involucrado en el método secreto Duo Kai de Zu Chong. El diámetro de un círculo es de 100 millones de pies, el círculo es tres pies, un pie y cuatro pulgadas, un minuto y cinco centímetros y nueve milisegundos, dos Siete flautas en un segundo, tres pies en meningitis, cuatro pulgadas en un pie, un minuto, cinco centímetros y nueve milisegundos, seis aletas en dos segundos , el resto y la meningitis son números positivos". Meningitis: el diámetro de un círculo es 113, pi es 355. Aproximadamente, el diámetro de un círculo es siete y el diámetro de un círculo es veintidós."
Este registro señala las dos principales contribuciones de Zu Chongzhi a pi. La primera es encontrar π
3.1415926 < π < 3.1415927
La segunda es encontrar dos reducciones de π, a saber: la tasa de reducción es 22/7; la tasa de reducción es 355/113
¿Cómo es este resultado? ¿Qué se obtuvo? Fue sobre la base de heredar y desarrollar la técnica de corte circular de Liu Hui que Zu Chongzhi logró este resultado extraordinario. Por lo tanto, cuando elogiamos los logros de Zu Chongzhi, No debemos olvidar que sus logros lo sitúan como líder en matemáticas. Obtenido del hombro de Liu Hui. Se deduce que si este resultado se puede obtener simplemente calculando la longitud del lado del polígono dentro del círculo, entonces la longitud del lado del círculo. El círculo interior del cuadrado debe calcularse en 1288 para obtener un valor tan preciso. ¿Una forma ingeniosa de simplificar los cálculos? Esto ya no se conoce, porque el libro "Zhu Shu" que registró los resultados de su investigación se perdió hace mucho tiempo. una gran tragedia en la historia de las matemáticas chinas.
Sellos conmemorativos de China Zu Chongzhi
p>Los resultados de la investigación de Zu Chongzhi son mundialmente reconocidos: hay un artículo sobre la investigación de Zu Chongzhi sobre π. En la pared del Museo de Ciencias Palais Deco de París, hay una estatua de mármol de Zu Chongzhi en el pasillo del auditorio de la Universidad Estatal de Moscú, y hay una luna que lleva su nombre en los cráteres de la luna... ... ...
La gente suele prestar menos atención a la segunda contribución de Zu Chongzhi a π, que es su elección de dos fracciones simples, especialmente fracciones compactas. Pero, de hecho, esta última es mucho más importante. matemáticamente
La relación de densidad es una buena aproximación de π, pero en una forma simple y elegante, usando solo los números 1, 3 y 5. El historiador de las matemáticas, el profesor Liang Zongqiao, ha verificado que entre todas las fracciones con. con un denominador menor que 16604, no hay fracción más cercana a π que la densidad. En países extranjeros, más de mil años después de la muerte de Zu Chong, los talentos occidentales obtuvieron este resultado
Se puede ver que proponen. La densidad no es una cuestión sencilla. La gente naturalmente quiere preguntar, ¿cómo se obtuvo este resultado? ¿Cómo se convierte el valor aproximado en una fracción aproximada? Este tema siempre ha sido motivo de preocupación para los historiadores de las matemáticas. En la literatura, las generaciones posteriores han hecho diversas especulaciones al respecto. Echemos un vistazo a los trabajos históricos realizados en el extranjero, con la esperanza de aportar alguna información.
En 1573, el alemán Otto obtuvo este resultado. resultados 22/7 y el resultado de Otto Lemy de 377/120 fue "sintetizado" usando un método similar a la suma: (377-22)/(120-7) = 355/113. el holandés Antonides ) Utilice el método de Arquímedes para encontrar primero: 333/106 < π < π: 333/106 < π < 377/120, y utilice los dos como la aproximación principal de π. Se promedian el numerador y el denominador y el resultado se obtiene sumando: 3((15+17)/(106+120)=355/113.
Aunque ambos obtuvieron la densidad de Zu Chongzhi, Todos los métodos utilizados están acoplados y no tienen sentido.
En Japón, en el volumen 4 del "Algoritmo de soporte", un trabajo importante de Seki Takawa en el siglo XVII, la creación de la aproximación π-cero es esencialmente. el uso del método de suma para aproximar fracciones.
Usó 3 y 4 como números aproximados, los sumó seis veces seguidas y obtuvo la tasa aproximada de Zu Chongzhi. Los sumó ciento doce veces para obtener la tasa de densidad. Sus alumnos mejoraron este estúpido método paso a paso y propusieron un método de suma aproximada a partir de deficiencias y excesos adyacentes (de hecho, ya hemos mencionado el método de suma antes, a partir de 3 y 4, se suman seis veces). La tasa se obtiene sumandola la séptima vez es 25/8. La tasa aproximada 22/7 se suma a su vecino más cercano para obtener 47/15. Por analogía, siempre que se sume a la 23ª vez, la densidad es. obtenido.
El Sr. Qian Zongzhong propuso en "Historia de la aritmética china" (1931) que Zu Chongzhi utilizó el "Método de ajuste japonés", que es el método de ponderación iniciado por He Chengtian que mencionamos anteriormente. Imaginó el proceso de Zu Chongzhi para encontrar la densidad: tomando la tasa Hui 157/50 y la tasa madre 22/7 como valores aproximados, y calculando el x=9 ponderado, luego (157+22×9)/(57×9 )=355/ 113, encuentra la densidad de una vez. El Sr. Qian dijo: "Chongzhen usó su tecnología para crear densidad después de Chengtian, lo cual también fue intencional".
Otra suposición es: utilizar el método de la fracción continua.
Dado que la resta del máximo común divisor de dos números naturales era popular ya en la época en que se escribieron "Nueve capítulos sobre aritmética", debería ser más natural utilizar esta herramienta para calcular fracciones aproximadas. Algunas personas piensan que Zu Chongzhi pudo haber usado esta herramienta para expresar 3.14159265 como una fracción continua después de obtener el número restante, obteniendo así su fracción asintótica: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 102573/32650... ....
Finalmente, toma el numerador y el denominador, que son muy precisos pero tienen un denominador pequeño, 355/113 como la proporción pi de pi. 355/113 como una aproximación de pi. En cuanto al método específico para encontrar la fracción asintótica del pi mencionado anteriormente, se omite aquí. Puede encontrarlo usted mismo utilizando el método que presentamos anteriormente. El Dr. Joseph Needham de Inglaterra sostuvo esta opinión. Cuando habló sobre la densidad de Zu Chongzhi en la sección de geometría del Capítulo 19 del Volumen 3 de "Historia de la ciencia y la tecnología en China", dijo: "La fracción de densidad es una fracción continua en la asíntota, por lo que es un logro extraordinario". ."
Echemos un vistazo a los logros extranjeros.
En 1150, el matemático indio Brahma II calculó π=3927/1250=3,1416. En 1424, el astrónomo y matemático de Asia Central Kasi escribió la "Teoría Pi" y calculó 3 × 228 = 805.306.368. Se encuentra el perímetro del polígono regular y el valor de π. Su resultado es:
π = 3,14159265358979325
Hay diecisiete dígitos exactos. Esta es la primera vez que se bate el récord de Zu Chongzhi en el extranjero.
El matemático francés del siglo XVI, Veda, utilizó el método de cálculo aproximado de π de Arquímedes y utilizó cifras ortogonales de 6×216 para encontrar el valor de π con una precisión de 9 decimales. Todavía usaba los métodos de Arquímedes, pero Veda tenía una herramienta más avanzada que Arquímedes: el sistema decimal, que el alemán Rudolf pasó casi toda su vida estudiando a principios del siglo XVII. También combinó el nuevo sistema decimal con el método de Arquímedes anterior, pero en lugar de comenzar con un hexágono regular y duplicar su número de lados, comenzó con un cuadrado y fue avanzando hasta llegar a un hexágono con 262 lados. Un polígono regular tiene aproximadamente. ¡4.610.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 lados! 35 decimales. Para conmemorar este notable logro, los alemanes llamaron a pi el "número de Rudolph". Sin embargo, el método geométrico para encontrar el valor de π requiere mucho cálculo y los matemáticos no pueden mejorarlo durante su vida. Se puede decir que Rudolph ha alcanzado su punto máximo. El método clásico ha llevado a los matemáticos a llegar muy lejos. En el futuro, debe haber un gran avance en el método.
En el siglo XVII apareció el análisis matemático. Esta poderosa herramienta resolvió muchos problemas que no podían resolverse con las matemáticas elementales. La historia del cálculo de π ha entrado en una nueva etapa.
Período analítico
Durante este período, la gente comenzó a deshacerse del difícil cálculo de encontrar el perímetro de los polígonos y utilizó series infinitas o productos infinitos para calcular π.
En 1593 se calculó π mediante métodos analíticos.
Esta fórmula inusual dada por Vidal en 1593
es la fórmula analítica más antigua para π.
Muestra que el valor de π se puede calcular mediante una serie de sumas, multiplicaciones, divisiones y cuadrados usando solo el número 2.
Varias expresiones se suceden una tras otra. Por ejemplo, Wallis dio en 1650:
En 1706 Machen estableció una fórmula importante que ahora lleva su nombre:
Volvió a utilizar la expansión analítica de una secuencia, calculada hasta 100 decimales.
Este método es mucho más simple que los 35 decimales que el pobre Rudolf pasó la mayor parte de su vida desenterrando. Evidentemente, el método de las series declara la obsolescencia del método clásico. A partir de entonces, el cálculo de pi fue como un maratón, récord tras récord:
En 1844, Dasser utilizó la fórmula:
para calcular 200 dígitos.
A finales del siglo XIX siguieron apareciendo fórmulas similares, y el número de dígitos en π también aumentó rápidamente. En 1873, Scheckes aprovechó la serie de métodos de Metzin para calcular π con 707 decimales utilizando fórmulas de secuencia. Le llevó dos décadas lograr este récord sin precedentes. Después de su muerte, la gente grabó en su lápida este valor, que condensaba los esfuerzos de toda su vida, para conmemorar su perseverancia. Así, la cristalización del esfuerzo de su vida quedó en su lápida: el valor de π con 707 decimales. Este sorprendente resultado se convirtió en el estándar durante los siguientes 74 años. Durante el siguiente medio siglo, se creyó que sus cálculos eran correctos o no había forma de comprobar si eran correctos. Tanto es así que su valor de π todavía está grabado de forma destacada en el patio del Pabellón del Descubrimiento en la Exposición Universal de París de 1937.
Unos años más tarde, el matemático Ferguson tuvo dudas sobre los resultados de sus cálculos. Sus dudas se basaban en la conjetura de que en el valor de π, aunque la disposición de los números no tiene reglas, cada número tiene las posibilidades de ocurrir. debería ser el mismo. Cuando calculó los resultados de Shakes, descubrió que cada número aparecía de manera demasiado desigual. Entonces sospechó que algo andaba mal. Utilizó las herramientas de cálculo más avanzadas de la época para calcular un año completo desde mayo de 1944 hasta mayo de 1945. En 1946, Ferguson descubrió que el número 528 estaba equivocado (debería haber sido 4, pero era 5). El valor del jeque de más de cien se informó incorrectamente, y ahora el pobre jeque y los quince años que desperdició fueron compensados.
Al respecto, algunas personas se rieron de él y dijeron que en la historia de las matemáticas, además de las obras de Arquímedes y Fermat, habrá una o dos líneas sobre el cálculo de Shakes de π al decimal. punto anterior a 1873. 707 bits de contenido. De esta forma podrá sentir que su vida no ha sido en vano. Si ese es el caso, entonces logró su objetivo.
Quizás sea normal que las personas se sientan incomprensibles para quienes trabajan incansablemente en todos los rincones del planeta. Pero el ridículo que se les dirigió fue cruel. Las personas tienen capacidades diferentes y no podemos pedirles a todos que sean como Fermat o Gauss. Pero sólo porque no podamos ser grandes matemáticos no significa que no podamos hacer nuestra propia contribución limitada a la sociedad. Cada uno tiene sus propias fortalezas. Como matemático enérgico, Shakespeare estuvo dispuesto a dedicar la mayor parte de su vida a este trabajo sin pedir nada a cambio y, finalmente, añadió un pequeño ladrillo al tesoro del conocimiento del mundo. ¿No deberíamos conmovernos por sus incansables esfuerzos y recibir algo de inspiración y educación de él?
En enero de 1948, Ferguson y Renzi anunciaron los 808 decimales correctos para π. Este es el cálculo humano más alto de π jamás registrado.
Era de la informática
En 1946, se fabricó con éxito la primera computadora del mundo, ENIAC, lo que marcó el comienzo de la era de la informática en la historia de la humanidad. La llegada de las computadoras provocó una revolución fundamental en la informática; en 1949, la ENIAC calculó hasta 2035 (o 2037) decimales basándose en la fórmula de Machen en sólo 70 horas, incluido el tiempo de preparación y organización. Con el rápido desarrollo de las computadoras, sus récords a menudo se superan.
ENIAC: El comienzo de una era
En 1973, alguien calculó pi con 1 millón de decimales e imprimió el resultado en un libro de doscientas páginas. Digamos que esto es lo máximo. Libro aburrido del mundo.
En 1989, pi superó la marca de los mil millones y, en octubre de 1995, superó los 6,4 mil millones de dígitos. Yasumasa Kaneda, profesor de la Universidad de Tokio en Japón, resolvió 206.158.430.000.000.000 decimales. Si estos números se imprimieran en papel de tamaño A4, con 20.000 dígitos impresos en cada página, el papel se amontonaría entre quinientos y seiscientos metros de altura. Del último informe: Yasumasa Kaneda utilizó una supercomputadora para calcular pi con un billón y 241 mil millones de decimales, reescribiendo su propio récord establecido hace dos años. Según los informes, el profesor Kaneda trabajó con personal de Hitachi para utilizar una supercomputadora que actualmente ocupa el puesto 26 en el mundo en términos de potencia informática y utilizó un nuevo método de cálculo para calcular el nuevo número en más de 400 horas, seis veces más que las 2.611. decimales que calculó en septiembre de 1999. El primer billón de dígitos después del punto decimal de pi es 2 y los primeros 1241 mil millones de dígitos son 5. Si se lee un dígito por segundo, se necesitarían unos 40.000 años para leerlo todo.
Pero batir el récord ahora, sin importar cuántos dígitos avance, no será particularmente sorprendente. De hecho, no tiene sentido calcular el valor de π con demasiada precisión. Los valores de π utilizados en la ciencia y la tecnología modernas tienen más de una docena de dígitos, lo cual es suficiente. Si usáramos el valor de Rudolph de π con 35 decimales para calcular la circunferencia de un círculo alrededor del sistema solar, el error sería menos de una millonésima parte del diámetro de un protón. También podemos citar las palabras del astrónomo estadounidense Simon Newcomb para ilustrar el valor práctico de este cálculo:
"Diez decimales son suficientes para determinar la circunferencia de la Tierra con una precisión de una pulgada, y treinta decimales permiten la La circunferencia de todo el universo visible es tan precisa que ni siquiera los microscopios más potentes pueden discernirla.
Entonces, ¿por qué los matemáticos siguen escalando como montañeros, pidiendo ayuda en lugar de detener la búsqueda de π? ¿Es tan fascinante su pequeño valor?
Esto puede deberse a la curiosidad humana y la visión de futuro, pero hay muchas otras razones
La maravillosa relación entre Pi y Pi...
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1. Ahora la gente puede usarlo para probar o verificar el rendimiento de las supercomputadoras, especialmente la velocidad de computación y la estabilidad del proceso informático. La mejora en sí es crucial hace apenas unos años, cuando Intel presentó el Pentium. procesador, se descubrió que tenía un pequeño problema, y este problema se descubrió al ejecutar cálculos de π. Este es también el cálculo de π de ultra alta precisión una de las razones por las que sigue siendo importante. p> 2. Los métodos e ideas de computación pueden traer nuevos conceptos e ideas. Aunque la velocidad de cálculo de las computadoras está más allá de la imaginación, después de todo, los matemáticos deben programarlos de la manera correcta cuando dividimos el cálculo. La historia de π en el período de las computadoras electrónicas no significa una mejora en los métodos de cálculo, sino solo un gran avance en las herramientas de cálculo. Por lo tanto, cómo mejorar la tecnología de cálculo y desarrollar mejores fórmulas, haciéndola converger más rápido y con mayor precisión. Sigue siendo una cuestión importante que enfrentan los matemáticos. En este sentido, el talentoso matemático indio Ramanujan ha logrado muy buenos resultados. Ha descubierto muchos métodos que se pueden utilizar rápidamente, la fórmula para calcular con precisión el valor aproximado de π. abrió el camino a un cálculo más eficiente del valor aproximado de π En cuanto a la historia de este legendario matemático, no queremos dejarla en este pequeño libro. Sin embargo, espero que todos puedan entender que la historia de π trata sobre el. victoria de la humanidad, no la victoria de las máquinas.
3. Hay otro problema con el cálculo de π: ¿podemos contar? La respuesta es: ¡No! Calcula hasta 1077 bits. Aunque todavía estamos lejos de este límite, después de todo es un límite. Necesitamos lograr nuevos avances en la teoría del cálculo, no importa qué fórmula usemos, debemos comenzar desde cero. Los bits anteriores están desalineados, el valor posterior no tendrá ningún significado. Maldito Hicks. Es la peor lección de la historia.
4. Por lo tanto, no podemos evitar preguntar: ¿podemos empezar desde el principio? del medio? La idea es encontrar una fórmula de operación paralela.
En 1996, finalmente se encontró una fórmula paralela para pi, pero era una fórmula hexadecimal, por lo que los 100 mil millones de dígitos fácilmente derivados no eran más que valores hexadecimales. La existencia de una fórmula decimal paralela sigue siendo un gran problema para el desarrollo futuro de las matemáticas.
5. Como serie infinita, los matemáticos están interesados en extender π a cientos de millones de bits, lo que puede proporcionar datos suficientes para verificar algunas preguntas teóricas planteadas por la gente y puede descubrir muchas naturalezas fascinantes. Por ejemplo, en la expansión decimal de π, ¿cuáles de los 10 números son dispersos y cuáles son densos? En expansiones numéricas de π, ¿algunos números aparecen con más frecuencia que otros? ¿Quizás no sean completamente aleatorios? Estas ideas no son una tontería. Sólo un pensador agudo haría estas preguntas aparentemente simples, que para muchas personas son comunes pero no se molestan en preguntar.
6. El matemático Ferguson conjeturó por primera vez que la probabilidad de que cada número aparezca en la fórmula numérica de π es la misma. Sin embargo, la conjetura no es igual a la realidad. Sin embargo, la conjetura no es igual a la realidad. Ferguson intentó verificarlo pero fracasó. Las generaciones posteriores también intentaron verificarlo, pero se conocían muy pocos dígitos para el valor de π. Incluso si hay muy pocos dígitos, hay motivos para dudar de la exactitud de la conjetura. Por ejemplo, la probabilidad de que aparezca el número 0 es baja desde el principio. Solo hay 1 cero en los primeros 50 dígitos y la primera aparición está en la posición 32. Sin embargo, a medida que aumenta la cantidad de datos, este fenómeno pronto cambiará: 8 ceros en 100 bits; 19 ceros en 200 bits... 999.440 ceros en 10 millones de bits... Hay 599.963.963.005 ceros en 60 mil millones de dígitos; casi una décima parte de cero.
¿Qué pasa con los otros números? Resulta que cada número es casi 1/10, algunos un poco más, otros un poco menos. Aunque hay algunas desviaciones, todas están dentro de 1/10.000.
7. Hay otra pregunta: ¿Realmente no existe una regla cierta para la expansión numérica de π? Nos gustaría poder buscar cualquier patrón posible en la expansión decimal estudiando la distribución estadística de los números, si tal patrón existe y aún no se ha descubierto. También queremos saber si la expansión de π contiene patrones infinitos. ¿O hay algún tipo de permutación de números? El famoso matemático Hilbert hizo la siguiente pregunta en un cuaderno inédito: ¿Hay diez nueves conectados en la expansión decimal de π? Después de contar seis mil millones de números, finalmente surgió el problema: seis nueves seguidos. Parece que la respuesta a la pregunta de Hilbert debería ser sí; parece que cualquier permutación de números debería ocurrir, es sólo cuestión de tiempo. Sin embargo, proporcionar evidencia concluyente requeriría más cálculos sobre el número de π.
8. A este respecto, existen los siguientes resultados estadísticos: entre estos 6 mil millones de números, hay 8 8 9 7 10 6 y 3204765 después del punto decimal; 52638º dígito después del punto decimal, los 8 números 14142135 aparecen consecutivamente, y estos 8 dígitos son exactamente los primeros 8 dígitos a partir del 2747956º dígito después del punto decimal, los primeros 7 dígitos aparecen continuamente a partir del 2747956º dígito; después del punto decimal aparece una secuencia interesante 876543210, pero lamentablemente falta un 9 al frente y también aparece una secuencia más interesante 123456789;
Si sigues contando, parece que pueden aparecer varios tipos de combinaciones de columnas numéricas.
Llenar huecos: otros métodos para calcular π
Pufeng propuso un método experimental para calcular π en su libro "Experimentos aritméticos de Yingran" publicado en 1777. El funcionamiento de este método experimental es muy simple: encuentre una aguja delgada con espesor uniforme y longitud d, dibuje un conjunto de líneas paralelas con un espacio de l (por conveniencia, l = d/2) en una hoja de papel blanco y Luego, lanza la pequeña aguja al azar sobre el papel blanco una y otra vez. Repita esto muchas veces y cuente el número de veces que la aguja cruza cualquier línea paralela, y podrá obtener un valor aproximado de π. Porque el propio Puffon también demostró que la probabilidad de que una aguja corte cualquier línea paralela es p = 2l/πd. Usando esta fórmula, el valor aproximado de π se puede encontrar usando métodos probabilísticos.
En un experimento, eligió l = d/2, lanzó la aguja 2212 veces y la aguja intersecó líneas paralelas 704 veces, obteniendo así un valor aproximado de π 2212/704 = 3,142. Cuando el número de lanzamientos de agujas en el experimento es bastante grande, se pueden obtener valores de π más precisos.
En 1850, un hombre llamado Wolfe obtuvo un valor aproximado de π, 3,1596, tras lanzarla más de 5.000 veces. En 1901, repitió el experimento y realizó 3.408 lanzamientos de aguja, obtuvo un valor aproximado de. π 3,1415929, un resultado tan preciso que mucha gente dudó de la autenticidad de su experimento. L. Badger, de la Universidad Nacional Weber en Ogden, Utah, por ejemplo, lo niega rotundamente.
Sin embargo, la importancia del experimento de Pfeffer no radica en encontrar un valor de π más preciso que otros métodos. La importancia del problema de la aguja de Pfeffer es que es el primer ejemplo de un problema de probabilidad expresado en forma geométrica. Este método de calcular π no solo es novedoso y único, sino que también es pionero en el uso de números aleatorios para resolver problemas matemáticos deterministas y es pionero en el uso del azar para resolver cálculos deterministas.
Entre los métodos probabilísticos para calcular los valores de π, cabe mencionar también que R. Chater descubrió en 1904 que la probabilidad de que dos números escritos al azar sean coprimos es 6/π2, abril de 1995, revista "Nature". publicó un artículo que describe cómo Robert Matthews, del Departamento de Ciencias de la Computación y Matemáticas Aplicadas de la Universidad de Aston en Birmingham, Reino Unido, utiliza la distribución de estrellas brillantes en el cielo nocturno para calcular la circunferencia de un círculo. Matthews utilizó la distribución de estrellas brillantes en el cielo nocturno para calcular la circunferencia de un círculo. Matthews analizó par tras par de 100 de las estrellas más brillantes seleccionadas al azar para calcular la distancia angular entre ellas. Estudió 1 millón de pares de estrellas, de las que dedujo un valor de π de aproximadamente 3,12772. El error relativo entre este valor y el valor verdadero está dentro del 5%.
El descubrimiento de π a través de una amplia gama de ámbitos y canales como la geometría, el cálculo y la teoría de la probabilidad demuestra el encanto único de los métodos matemáticos. De hecho, es sorprendente que se pueda obtener π mediante tantos experimentos aparentemente no relacionados.