¿Qué herramienta usó Shanks para calcular pi?
Cuando los antiguos calculaban pi, generalmente utilizaban el método de corte de círculos. Es decir, utilice el polígono regular inscrito o circunscrito del círculo para aproximar la circunferencia del círculo. Arquímedes usó un polígono regular de 96 lados para obtener pi con una precisión de 3 decimales; Liu Hui usó un polígono regular de 3072 lados para obtener una precisión de 5 dígitos; Rudolf usó un polígono regular de 262 lados para obtener 35 dígitos; exactitud. Este algoritmo basado en geometría es computacionalmente intensivo, lento e ingrato. Con el desarrollo de las matemáticas, los matemáticos han descubierto muchas fórmulas para calcular pi de forma intencionada o no al realizar investigaciones matemáticas. A continuación seleccionamos algunas fórmulas clásicas de uso común para presentar. Además de estas fórmulas clásicas, existen muchas otras fórmulas y fórmulas derivadas de estas fórmulas clásicas, por lo que no las enumeraré una por una.
1. Fórmula de Ma Qing
π=16arctan1/5-4arctan1/239
Esta fórmula fue descubierta por el profesor de astronomía británico John Ma Qing en 1706. Usó esta fórmula para calcular pi con 100 dígitos. La fórmula de Ma Qing puede obtener 1,4 dígitos decimales de precisión para cada elemento calculado. Debido a que el multiplicando y el dividendo durante su cálculo no son mayores que un número entero largo, se puede programar fácilmente en una computadora.
Existen muchas fórmulas arctangentes similares a la fórmula de Ma Qing. De todas estas fórmulas, la fórmula de Ma Qing parece ser la más rápida. Aun así, si desea calcular más dígitos, como decenas de millones de dígitos, la fórmula de Ma Qing no podrá hacerlo.
2. La fórmula de Ramanujan
En 1914, el talentoso matemático indio Ramanujan publicó en su artículo una serie de 14 fórmulas para calcular pi. Esta fórmula puede obtener 8 dígitos de precisión decimal para cada término calculado. En 1985, Gosper utilizó esta fórmula para calcular el dígito 17.500.000 de pi.
En 1989, los hermanos David Chudnovsky y Gregory Chudnovsky mejoraron la fórmula de Ramanujan, que se llamó Fórmula de Chudnovsky, cada cálculo puede obtener 15 dígitos de precisión decimal. En 1994, los hermanos Chudnovsky utilizaron esta fórmula para calcular el número 4.044.000.000. Otra forma de la fórmula de Chudnovsky que es más conveniente para la programación de computadoras es:
3. Algoritmo AGM (media aritmético-geométrica)
Fórmula de Gauss-Legendre:
Esta fórmula obtendrá el doble de precisión decimal en cada iteración. Por ejemplo, para calcular 1 millón de dígitos, 20 iteraciones son suficientes. En septiembre de 1999, los japoneses Daisuke Takahashi y Yasumasa Kaneda utilizaron este algoritmo para calcular el dígito 206.158.430.000 de pi, estableciendo un nuevo récord mundial.
4. Fórmula de la cuarta iteración de Polvin:
Esta fórmula fue publicada por Jonathan Polvin y Peter Polvin en 1985. Converge a pi cuatro veces.
5. Algoritmo de Bailey-borwein-plouffe
Esta fórmula se conoce como fórmula BBP y fue publicada por David Bailey, Peter Borwein y Simon Plouffe en 1995. Rompe el algoritmo pi tradicional y puede calcular cualquier enésimo dígito de pi sin calcular los n-1 dígitos anteriores. Esto proporciona la viabilidad del cálculo distribuido de pi.