aciba

Demostración:

Las rectas auxiliares son como se muestra en la figura:

∵O es el circuncentro

∴∠AOB=2 ∠C= 60°

∴△AOB es un triángulo equilátero

∵I es el centro del cuerpo

∴∠IAB=∠IAE

Y ∵AB =AE

Usando SAS, podemos saber: △IAB≌△IAE

De manera similar, se puede demostrar: △IAB≌△IDB

∴∠EIA=∠DIB=∠ AIB

=180°-(∠IAB ∠IBA)=180°-(∠CAB ∠CBA)/2

= 180°-(180°-30°)/2 =105°

∴∠EID=360°-3∠EIA=360°-3×105°=45°

∠EFD

=(∠ AEO-∠ECF) (∠BDI-∠DCF)=∠AEO ∠BDI-(∠ECF ∠DCF)

=(90°-∠EAO /2) ∠BAI-30°=60° ( ∠BAE-∠EAO)/2

=60° ∠BAO/2=60° 30°

=90°

∴EO⊥DI

De manera similar, se puede observar que: DO⊥EI

∴O es el centro vertical de △EID

∴IO⊥ED

∴∠OID ∠EDI= ∠DEO ∠EDI=90°

∴∠OID=∠DEO

Y ∵∠EID= 45°

∴△EFI es un triángulo rectángulo isósceles

∴EF=IF

Según ASA: △OIF≌△DEF

∴OI=ED

En resumen: OI ⊥ED y OI=ED

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