4.7 Prueba simulada del Concurso de Matemáticas de la Escuela Secundaria | Concurso Nacional de Matemáticas de la Escuela Secundaria

(Primera prueba)

Wang Xin de la escuela secundaria No. 1 de Fuzhou

1. Preguntas de opción múltiple (6 puntos cada una, *** 36 puntos)

?cos α? cos β?1. Supongamos que la función f (x) = sin β? sin α?, α y β son ambos ángulos agudos, si para cualquier x > 0 ,

Si f (x ) < 2, entonces ( ) (A) x x 0 α β π

4 (B) 0 α β π

2 (C) π

4 α β π

2 (D) α β π

2

2. La función definida en R satisface f (x) = f (x 2), cuando x∈ [3, 5], f (x) = 2 - x - 4|, entonces

()

(A) f (sinπ

66

2π2π) f (sin2) (C) f (cos33

3. Si la desigualdad a b ≤ m ?a 2 b 2 es válido para todos los números reales positivos a y b, entonces el valor mínimo de m es ( ), ( ), ( ) y ( ). Entonces el valor mínimo de m es ()

. (A) 2 (B ) ) f (cos1) 2 (C) 2 (D) 4 3

4

x 2y 2

Hay n en =1, 4 Punto diferente P 1, con la elipse P 2, ..., P n, F como foco derecho, { | Pi F }.(i = 1, 2, , n) 43

forma una secuencia de distancias iguales, la tolerancia es d gt 1. El valor máximo de n es ( ) 100

(A) 199 (B) 200 (C) 99 (D) 100

25. Se sabe que la secuencia {an } satisface a n , y a 1 == a n 1a n -1 (n ?1)2 , entonces el número natural más cercano a a 2006

es ()

(A) 8 ( B) 9 ( C) 10 ( D )11

6. En el cuadrado C con longitud de lado 1, haz una bola tangente grande O 1, y luego haz una bola pequeña O 2 en una esquina de C Hazlo tangente a la bola grande y tangente a tres caras del cuadrado. Entonces el área de la bola O 2 es () (A) (7-43) π (B) (7 4) π (C) 2 2-3π (D) π 22

II. Complete los espacios en blanco (Cada pregunta vale 9 puntos, ***54 puntos)

7

． Dado el punto fijo A, si el punto móvil P está en la parábola y 2 = 4x, y la proyección del punto P en el eje y es el punto M, entonces el valor máximo de |PA |-|PM |

8. Se conoce la función f(x) = 2x 3. Si la gráfica de y = g (x ) y la gráfica de y = f x -1-1(x 1) son simétricas con respecto a la recta y = x, entonces el valor de g (3) es igual a .

9. Un cono triangular equilátero tiene tres lados de longitud 1 y dos lados verticales.

Gire este cono triangular 60 grados alrededor de su altura, entonces el volumen de la parte del dios común entre el cono triangular girado y el cono triangular original será.

10. Hay 16 tableros de ajedrez en un tablero de 4× 4 tablero de ajedrez Cuadritos pequeños, pinta 8 de ellos de negro para que queden exactamente 2 cuadrados negros en cada fila y columna. (Respuesta con números)

11. Se sabe que hay dos conjuntos de puntos en el plano

M = {(x, y) ||x y 1|≥x, y∈R}, N = {(x, y) ||x -a | |y -1|≤1, x, y∈R}. Si M N ≠?, entonces el rango de valores de a es.

12. Si 6 2 2 (m, n ∈ N) es un número cuadrado perfecto, entonces todos los posibles (m, n) = . , ***60 puntos)

13. Dos personas, A y B, se turnan para lanzar una moneda par. El que arroje cara gana. En la siguiente ronda, el lado de la cola lanza primero. .

(1) Calcula la probabilidad de que gane la persona que lanza la moneda primero en cualquier juego.

(2) Se sabe que jugó 10 juegos en ****, A Lanza una moneda primero en la primera ronda, luego la probabilidad de que A gane en la k-ésima ronda es P k. Si

k 1

x 2y 2

14. Dada la elipse E: 2 2 = 1 (a gt; b gt; 0), moviendo el círculo F : x 2 y 2 = R 2, donde b es un punto en la elipse E, B es un punto en el círculo en movimiento F, y sea la recta AB tangente a la elipse E y al círculo en movimiento F, encuentre la distancia entre los dos puntos A y B el valor máximo.

15. Se sabe que la desigualdad 2(2a 3) cos(θ-π

4) 6

se cumple cuando θ∈ ?0, encuentre la número real a El rango de valores. (50 puntos) En △ABC, BC CA=3AB, el círculo interior es I, el círculo tangente corta a BC y CA en D y E, sean los puntos de simetría de D y E en I K y L, demuestre: el círculo está en A, B, K, L a las cuatro ****.

2. (50 puntos) 3. Da los números reales agt; 1. Para x 1x 2x 3x 4x 5 todos los números reales positivos (x1, x2) que satisfacen la condición (x1 x2 x3 x4 x5) (11111)=25a, x3, x4, x5), encuentre el rango de max{x 1, x 2, x 3, x 4, x 5}. min{x 1, x 2, x 5, x 4, x 5}. min{x 1, x 2, x 3, x 4, x 5}

3. N equipo (ngt; 2 ) participar en una única competición de todos contra todos. Cada equipo juega un partido y cada partido determina el ganador. Si tres equipos A, B y C juegan en un juego y A vence a B, B vence a C y C vence a A, entonces estos tres equipos forman una cadena. ¿Cuál es el número máximo de grupos que se pueden formar una vez finalizados todos los juegos?

Respuestas de referencia

(Primer test)

1. Preguntas de opción múltiple. Preguntas de opción múltiple:

1. Según el significado de la pregunta

(D) tiene 0, es decir, cos(α β) α βgt

2. (D) Supongamos que -1 ? x ?1, luego 3 ?5 .

∴ f (x ) = f (x 2) = f (x 4) = 2 - | (x 4) - 4 | = 2 - |

Es fácil ver que (A), (B) y (C) están equivocados. Y f (cos2) = 2 - |cos2|, f (sin2) = 2 - |sin2|, ∵ |sin2 ＞ |cos2|, ∴ f (cos2) > f (sin2) ∴ Elija (D).

a 2 b 2

3. (C) ∵ a ≤ 2(a b ) ≤ 2, y el signo igual es verdadero si y sólo si a = 2

; p> p>

∴ m ≥ 24, es decir, el valor mínimo de m es 2, ∴ elige (C).

4. (B) ∵|Pn F| = |P1F (n - 1)d, ∴ n = 1 33P n F - P 1F

d,

En la elipse, el valor máximo del radio focal |Pi F| es a c y el valor mínimo es a - c, entonces

|Pn F ?- a c - (a - c| ) = 2c = 2.