Equivalencia del espectro AR
4.6.3.1 Equivalencia entre la estimación del espectro AR y la estimación del espectro de máxima entropía
Para facilitar la discusión, primero introduzca brevemente el concepto de entropía y luego proporcione el método de estimación del espectro de máxima entropía.
Supongamos que la fuente de la señal consta de N eventos, que pertenecen al conjunto X={x1, x2,...}. , xN}, la probabilidad de que la fuente genere el evento xj es P(xj), entonces
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Definición de la cantidad de información del evento xj en el conjunto X es
I(xj) = -lnP(xj )
La unidad de I(xj) es: si el logaritmo en la ecuación se basa en e, la unidad es nit ( nat); si se utiliza base 2, la unidad es bit.
La cantidad promedio de información de N eventos en toda la fuente se define como
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H(X) se denomina entropía de la fuente (según la definición de entropía de Shannon). Si la fuente de la señal Conceptos básicos del procesamiento de información
Suponiendo que la fuente es un proceso aleatorio gaussiano, se puede demostrar que la entropía de cada muestra es la misma que
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La fórmula Pxx(f ) es proporcional al espectro de potencia. Esta ecuación determina la relación entre entropía y espectro de potencia.
En 1967, J.P. Burg propuso la Estimación del Espectro de Autocorrelación Máxima (MESE: Maximum Entropy Spectrum Estimation), que se basa en la extrapolación de secuencias de autocorrelación conocidas para obtener valores de muestra de autocorrelación desconocidos. De esta manera, ya no existe la desventaja del rendimiento reducido de la estimación del espectro causado por la ventana de secuencias de autocorrelación.
Si se conocen {rxx(0), rxx(1), ..., rxx(p)}}, el problema es cómo extrapolar rxx(p 1), rxx(p 2), .. para garantizar que toda la matriz de autocorrelación extrapolada sea positiva definida. En general, existen innumerables métodos de extrapolación posibles, todos los cuales conducen a series de autocorrelación más adecuadas. Berg demostró que lo más razonable es elegir este método de extrapolación: la serie temporal correspondiente a la serie de autocorrelación extrapolada debe tener la máxima entropía. Es decir, entre todas las secuencias de autocorrelación extrapoladas con las primeras p 1 funciones de autocorrelación iguales a los valores dados, la serie temporal x(n) correspondiente a la secuencia de autocorrelación seleccionada rxx(m) es la "más aleatoria" o la "más aleatoria". aleatorio" Impredecible", o su espectro de potencia será el "más aleatorio" o "menos predecible", o será el "menos predecible". O su espectro de potencia es el más plano o el más blanco. El espectro de potencia obtenido al inferir la secuencia de autocorrelación de esta manera se denomina estimación del espectro de entropía máxima.
La razón para elegir el criterio de máxima entropía es que las restricciones impuestas a los valores de autocorrelación desconocidos son mínimas, por lo que la serie temporal correspondiente tiene la máxima aleatoriedad, lo que da como resultado una solución con una desviación mínima.
En el método de obtención de MESE, Burg impuso la restricción de que las primeras p 1 funciones de autocorrelación obtenidas por la transformada inversa de Fourier del espectro de potencia estimado sean iguales a las primeras p 1 de la señal dada X una autocorrelación función. Dado que
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entonces
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En la fórmula (4-35), la pregunta es: "Cuando las primeras p 1 funciones de autocorrelación de la señal dada X son iguales a las primeras p 1 funciones de autocorrelación de la señal dada X, las primeras p 1 funciones de autocorrelación de la señal dada Cuando las primeras p 1 funciones de autocorrelación de X son igual, las primeras p 1 funciones de autocorrelación de una señal X dada son iguales a las primeras p 1 funciones de autocorrelación de una señal X dada.
(4-35) En la fórmula, el problema de resolver el espectro de potencia máxima pertenece al problema de valores extremos generalizados en matemáticas. Este problema de optimización restringida se puede resolver mediante el método del multiplicador de Lagrange, y obtenemos
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Fórmula p>
En la fórmula, λ (m) es el multiplicador de Lagrange Encuentre λ (m) según la condición de restricción (4-36). sustitúyalo en la fórmula anterior. Se puede obtener
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En la fórmula, a (m) se puede obtener a partir del valor de muestreo de la función de autocorrelación p 1 conocida según a la ecuación de Yule-Walker.
Se puede ver que para el proceso aleatorio gaussiano con {rxx(0), rxx(1), ..., rxx(p)}} conocido, MESE es equivalente a AR(p).
4.6.3.2 La estimación del espectro AR es equivalente a la estimación del espectro de predicción lineal
Procesos aleatorios estacionarios conocidos 〈x(n-1), x(n-2),... . ........}, utilizado para predecir x (n), x (n) = s (n) v (n), suponiendo ruido v (n) = 0, entonces el pulso unitario del sistema de desplazamiento lineal La respuesta es h(n), entonces la salida del sistema es
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De acuerdo con el diseño del filtro óptimo (filtro Wiener) en el Capítulo 2, el sistema El error de estimación es
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Si se supone ak = -h(k), entonces este es un problema de predicción lineal. e (n) es el error de predicción
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El coeficiente de predicción ak se puede seleccionar de acuerdo con el criterio de minimizar el error cuadrático medio (el poder de la predicción error), es decir,
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Para minimizar la ecuación es necesario
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obtener (ver detalles en el Capítulo II “Fundamentos del Procesamiento de Información Geofísica”). Sin embargo, aquí x(n) puede ser un número complejo)
E[e(n)x*(n-m)] = rex(m) = 0, m = 1, 2, ..., p (4-42)
Según la fórmula (2-10),
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Es decir,
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En este momento, el sistema se encuentra en el estado de filtrado óptimo. Según la fórmula (2-18), debe haber un filtro en el sistema. (2-18), debería haber
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Las dos ecuaciones anteriores se combinan en
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Figura 4-3 Modelo autorregresivo y filtro de error de predicción
(a) Modelo AR(p); (b) filtro de error de predicción
Esto es lo mismo que AR( p) La fórmula de Yule-Walker del modelo es la misma (ver fórmula (4-20)). Si ambos tienen el mismo valor de la función de autocorrelación, entonces sus soluciones deben ser iguales, es decir, tenemos ak = a(k), (k = 0, 1, 2, ..., p; a0 = 1), . Esto significa que el mejor coeficiente de predicción lineal es igual a los parámetros del modelo AR, el error cuadrático medio mínimo (potencia de error de predicción) es igual a la varianza del ruido de excitación y el error de predicción es igual a la fuente de excitación ε(n) de el modelo AR. Como se muestra en la Figura 4-3, el uso de p datos muestreados antes del tiempo n para predecir x (n) se puede explicar mediante filtrado. Si se toma x(n) como entrada y la función de transferencia del filtro es
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(es decir, el filtro inverso de H(z)), entonces la salida será be El error de predicción ε (n), como se muestra en la Figura 4-3 (b), es el llamado filtro de error de predicción o filtro de blanqueamiento (filtro de blanqueamiento).