Cómo configurar en C# que cuando el mouse se mueva al botón de cerrar en el formulario, el cuadro de TEXTO no será validado. . .

El formulario tiene una propiedad llamada CausesValidation (que indica si el componente desencadena un evento de validación).

Puedes establecer sus propiedades en el evento FormClosing del formulario:

this.CausesValidation = false;